Belépés címtáras azonosítással
magyar nyelvű adatlap
Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik
A tantárgy angol neve: Graphs, Hypergraphs and Their Applications
Adatlap utolsó módosítása: 2014. október 1.
Mérnökinformatikus szak, MSc képzés
Számításelmélet mellékspecializáció
Név:
Beosztás:
Tanszék, Int.:
Dr. Simonyi Gábor
egyetemi tanár
Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
Alapvető gráfelméleti fogalmak, lineáris algebra alapjai
A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.
A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.
Ezt a tárgyat nem vehetik fel, akik a VISZM032 kódú “Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik – matematikusoknak” című tárgyat teljesítették.
A tárgy fő célja a hallgatók gráfelméleti ismereteinek bővítése, a hipergráfok elmélete néhány fontosabb eredményének bemutatása és ezáltal a diszkrét matematikai gondolkodás fejlesztése. Hangsúlyosan be kívánja mutatni a hipergráf fogalom különféle nézőpontjait (gráfok általánosításai, halmazrendszerek, az élek karakterisztikus vektorainak halmazai, kódok), megismertetni a különböző nézőpontok előnyeit és rutinszerűvé tenni a közöttük való átjárást. Ezzel összefüggő cél a hallgatók azon készségének fejlesztése, hogy a gyakorlatban felmerülő problémák felvetette elméleti kérdéseket észrevegyék és meg tudják fogalmazni.
1) Általános bevezetés. Hipergráfok fogalma és ekvivalens megadásai. Hipergráfok mint gráfok általánosításai, halmazrendszerek, bináris sorozatok halmazai, kódok. Példák. Ryser sejtés, Baranyai tétel kimondása.
2) Baranyai tétel bizonyítása: Kerekítési lemma, ekvivalens állítás kimondása az indukcióhoz, indukciós bizonyítás. Stabil párosítások fogalma, Gale-Shapley tétel, algoritmus stabil párosítás keresésére páros gráfokban.
3) Nevezetes extremális halmazelméleti eredmények I: Sperner-tétel, LYM-egyenlőtlenség, Bollobás-egyenlőtlenség, Ahlswede-Zhang azonosság. Lexikografikus és kolexikografikus rendezés, Kruskal-Katona tétel kimondása.
4) Pozitív egész számok r-binomiális fölírása, balra tolás. Kruskal-Katona tétel bizonyítása. Nevezetes extremális halmazelméleti eredmények II: Erdős-Ko-Rado tétel, bizonyítása a Kruskal-Katona tétel felhasználásával (Daykin féle bizonyítás).
5) Erdős-Ko-Rado tétel Katona féle bizonyítása. Lineáris algebra alkalmazása extremális halmazelméleti eredmények bizonyítására: Páratlanváros tétel és Párosváros tétel.
6) Lineáris algebra további kombinatorikai alkalmazásai: Graham-Pollak tétel (Tverberg bizonyításával), Borsuk sejtés és Kahn-Kalai féle cáfolata (Nilli féle bizonyítással).
7) Kneser-sejtés, Kneser gráfok, Lovász-Kneser tétel. Borsuk-Ulam tétel, ekvivalens alakjai, Lusterrnik-Schnirelmann verzió, Lovász-Kneser tétel Greene féle bizonyítása. Dolnyikov tétele Matousek bizonyításával.
8) Schrijver gráfok, Schrijver tétele. Bizonyításhoz Gale lemma Ziegler féle bizonyítással és a Lovász-Kneser tétel Bárány féle bizonyítása. Színkritikusság.
9) Erdős-Katona sejtés, Frankl-Füredi féle felső korlát, Shearer konstrukció, a probléma további története, kapcsolat a bináris szorzócsatornával, Tolhuizen tétele.
10) Ramsey típusú tételek. Ramsey tétele gráfokra és uniform hipergráfokra. Geometriai alkalmazások. Ramsey számok meghatározásának nehézsége. Erdős-Hajnal kérdés. Indukált Ramsey tétel.
.
11) Chvátal pontos Ramsey számot adó tétele fákról és teljes gráfokról. Chvátal „art gallery" tétele.
12) Lokális kromatikus szám. Viszonya a kromatikus számhoz.
13) Híres sejtések. Hadwiger sejtés, gyengített változat, Reed-Seymour tétel. Hedetniemi sejtés, gyengített változat. Poljak-Rödl tétel, El Zahar-Sauer tétel. További variációk.
Erdős-Faber-Lovász sejtés.
14) Reed sejtés, Behzad-Vizing sejtés. Áttekintés, összefoglalás, tartalék.
Heti 2 óra előadás és heti 1 órás (kéthetente 2 órás) gyakorlat.
Vizsgaidőszakban: szóbeli vizsga.
Szorgalmi időszakban: Öt kiszárthelyi (10 -15 perces) dolgozat a gyakorlatokon, az aláiráshoz ezekből legalább hármat megfelelt szinten kell megirni.
A kiszárthelyik pótlására nincs mód.
Előzetes egyeztetés szerint.
A tárgyalandó eredmények közül több megtalálható az alábbi kötetben:
M. Aigner, G. M. Ziegler: Bizonyítások a KÖNYVből, Typotex Kiadó, 2004.
