Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Valószínűségszámítás B

    A tantárgy angol neve: Probability Theory

    Adatlap utolsó módosítása: 2018. július 3.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar
    Üzemmérnök-informatikus szak, BProf képzés
    közös tárgy
    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    VISZBA02   2/2/0/v 6  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Csehi Csongor György, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
    A tantárgy tanszéki weboldala http://www.cs.bme.hu/bprofvalszam
    4. A tantárgy előadója
    Dr. Csehi Csongor György
    Egyetemi adjunktus
    Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Gimnáziumi matematikai ismeretek. Alapvető integrálás.
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    Training.Code=("5N-A9") ÉS
    TárgyEredmény( "BMETE90AX54" , "jegy" , _ ) >= 2 ÉS
    TárgyEredmény("BMETE90AX55", "FELVETEL", _) > 0

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

    7. A tantárgy célkitűzése
    Valós életben felmerülő problémák megoldási módszereinek elsajátítása, az ezen problémákon keresztül véletlenként modellezhető jelenségek törvényszerűségeinek megismerése. Lehetséges kimenetelek kombinatorikai elemzése. Alkalmazásokból adódó tipikus valószínűségi eloszlások és azok viselkedésének megismerése.
    Témakörök:
    Alapfogalmak: véletlen kísérlet, eseménytér, esemény, elemi esemény, műveletek eseményekkel. Valószínűség és relatív gyakoriság (alkalmazási szint - K3). 
    A valószínűség tulajdonságai: Poincare-formula, Boole-egyenlőtlenségek, folytonossági tulajdonság. 
    Feltételes valószínűség, események függetlensége (alkalmazási szint - K3). Teljes valószínűségi tétel, Bayes-tétel (alkalmazási szint - K3).
    Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét és folytonos eset. Sűrűségfüggvény (alkalmazási szint - K3). Nevezetes eloszlások. Várható érték, szórás (alkalmazási szint - K3).
    Statisztikai alapfogalmak (megértés szint - K2).
    Informatikában felmerülő legfontosabb valószínűségi és statisztikai problémák (az egész félév során, mindig kapcsolódva) (alkalmazás szint - K3).
    8. A tantárgy részletes tematikája
    Az előadások tematikája: 
    1.
    Kockadobások és kártyahúzások valószínűségei. Kapcsolódó fogalmak: véletlen kísérlet, eseménytér, esemény, elemi esemény, műveletek eseményekkel,  klasszikus valószínűség.
    2.
    Milyen valószínűséggel igaz, hogy a húzott lapok között van ász vagy király? A példa mentén megismerjük a valószínűség tulajdonságait, a szita-formulát és a Boole-egyenlőtlenségeket.
    3.
    Lapszámlálás mellett hogyan változik a valószínűsége, hogy a következő lap ász? Feltételes valószínűség, események függetlensége,  szorzási szabály. Fals pozitív eredmények valószínűsége adatcsomagok validációja esetén, ennek megoldása teljes valószínűségi tétel és Bayes-tétel segítségével.
    4.
    Buffon-féle tűprobléma. Geometriai valószínűség. Mi a valószínűsége, hogy egy függvényhívás tovább tartson, mint két másik együttvéve? 
    5.
    Milyen kimenetelre fogadjunk kockadobás esetén? Mennyit éri meg kockáztatni? Diszkrét valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, várható érték, szórás. Intervallumok valószínűségei.
    6.
    Hibás csomagok várható száma egy üzenetben: binomiális eloszlás. Hogyan számolható ugyanez nagy üzenetek esetén: Poisson eloszlás. Hányszor kell átlagosan elküldeni a csomagot zavaros kapcsolaton keresztül: geometriai eloszlás. A geometriai eloszlás örökifjú tulajdonsága.
    7.
    Hogyan modellezhető a geometriai valószínűség más módszerekkel: egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. Mennyi ideig kell várni átlagosan egy applikációban, a következő felhasználói bejelentkezésre: exponenciális eloszlás.  Az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága. Az eloszlásfüggvény négy tulajdonsága.
    8.
    Különböző eloszlások generálása egyszerű véletlen felhasználásával. Eloszlás lineáris transzformációja. Várható értékre, szórásra vonatkozó tételek. 
    9.
    Mit tehetünk, ha nem ismerjük az eloszlást, de szeretnénk becsülni a valószínűséget: Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség.  
    10.
    Mennyi lesz két (egyforma vagy különböző) függvény egymás utáni lefutásának várható ideje? Transzformált valószínűségi változó várható értékének kiszámolása. Valószínűségi változók lineáris kombinációjának várható értéke.
    11.
    Mikor segít a  szorzat várható értékének, vagy    összeg szórásának meghatározásában, ha külön-külön ismerjük a várható értékeket, szórásokat: Valószínűségi változók függetlensége.   
    12.
    Mit várunk, ha sokszor ismétlünk meg egy kísérletet: nagy számok törvénye. Ismételt kísérletek viselkedését hogyan írhatnánk le? Normális eloszlás. Moivre-Laplace-tétel, Centrális határeloszlás-tétel.
    13.
    Hogyan kaphatjuk meg egy valószínűségi változó eloszlását a gyakorlatban: Statisztika. Statisztikai minta, realizáció. Empirikus átlag, szórás, eloszlásfüggvény. Maximum likelihood becslés. Hipotézisvizsgálat.
    14.
    Valószínűségszámítási problémakörök az informatikában: adat hibakezelés, hashelés, titkosítás, véletlen generálás.
     
     
    A gyakorlatok (laborok) tematikája:
    1.
    Kockadobásos és kártyahúzásos példák. Ezeken a fogalmak gyakorlása. Klasszikus valószínűségek számítása egyszerű leszámlálással.
    2.
    A valószínűség tulajdonságainak gyakorlása példákon. A szita-formula és a Boole-egyenlőtlenségek felhasználási lehetőségei számítási feladatokban.
    3.
    Példákon lakalmazott feltételes valószínűség. Események függetlenségének megállapítása. 
    Szorzási szabály, teljes valószínűségi tétel és Bayes-tétel felhasználásával megoldható feladatok.
    4.
    Geometriai valószínűséggel számítható valószínűségek számítása példákon. Egyszerű terület és térfogat számítások integrálással, valószínűségek meghatározására. 
    5.
    Diszkrét valószínűségi változóval modellezhető feladatok. Eloszlásfüggvény, várható érték, szórás számítás.
    6.
    Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás és geometriai eloszlás alkalmazása feladatok megoldására.
    7.
    Egyenletes eloszlású példákon való valószínűségek számítása. Exponenciális eloszlás gyakorlása.
    8.
    Eloszlások generálása lineáris transzformációval.
    9.
    Markov- és Csebisev-egyenlőtlenségek alkalmazása feladatokra.  
    10.
    Transzformált valószínűségi változók és valószínűségi változók lineáris kombinációjának várható értékének kiszámolása feladatokon.
    11.
    Független valószínűségi változók szorzatának várható értéke és összegének szórása példákon.
    12.
    Normális eloszlású példán intervallum vfalószínűség számítás. Centrális határeloszlás-tétellel számítható valós felhasználási példák.
    13.
    Statisztikai alapfogalmak gyakorlása példákon. Maximum likelihood becslés példák.
    14.
    A féléves tananyaghoz kapcsolódó problémakörök az informatikában példákon megvizsgálva.
    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)
    Az előadások keretein belül gyakorlatias példákkal keltjük fel a hallgatók érdeklődését a valószínűségszámítási módszerek iránt. A neves eredményeket bizonyítás nélkül, felhasználás orientáltan vizsgáljuk meg. A felhasználásokat többnyire informatikai indíttatásúak közül válogatjuk.
    A gyakorlatokon a tanult módszereket alkalmazzuk közösen, minél sokszínűbb problémafelvetésekre. A hallgatók az önálló feladatmegoldást megkedvelhetik az egyszerűbb feladatok nyújtotta sikereken felbuzdulva, majd kicsit nehezebb feladatokkal fejleszthetjük a készségeiket.
    10. Követelmények
    A szorgalmi időszakban: 
    Egy darab zárthelyi megírása legalább 40%-os eredménnyel. 
    A félév végi aláírás feltételei: 
    A sikeres zárthelyi megírása szükséges és elégséges feltétele a félév végi aláírás megszerzésének.
    A vizsgaidőszakban: 
    Legalább 3 alkalommal írásbeli vizsgát tartunk. Az osztályzat megszerzésének feltétele a legalább 40%-os eredmény a vizsgazárthelyin.
    Az osztályzat megállapításának módja: A zárthelyi eredménye 40%-os súllyal, a vizsgáé pedig 60%-kal számít az osztályzat megállapítása során.
    11. Pótlási lehetőségek
    A sikertelen zárthelyi pótlására egy alkalommal pótzárthelyit tartunk, amelyen sikeres zárthelyi is javítható, de rontani is lehet. A sikertelen pótzárthelyi javítására egy második pótlási alkalmat biztosítunk, amelyre a NEPTUN-ban jelentkezni kell, és díjköteles.
    A vizsgát a hatályos TVSZ szabályozások szerint lehet pótolni egy későbbi vizsgaalkalmon.
    12. Konzultációs lehetőségek Vizsgák előtti napon 1-1 két órás alkalom a kérdések megvitatására.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
    Ketskeméty László: Valószínűségszámítás, Műegyetem Kiadó (55050), 1999
    Ketskeméty László, Pintér Márta (szerk.): Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény megoldásokkal, Arteria Studio Kiadó, 2011
    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra56
    Félévközi készülés órákra42
    Felkészülés zárthelyire24
    Házi feladat elkészítése0
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása0
    Vizsgafelkészülés58
    Összesen180
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta
    Dr. Csehi Csongor György
    Egyetemi adjunktus
    Számítástudományi és Információelméleti Tanszék