Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

Elemi kombinatorika, analízis

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A sztochasztikus modellalkotás alapjainak elsajátítása.

1.      Történeti bevezető. Alapfogalmak: véletlen kísérlet, eseménytér, esemény, elemi esemény, műveletek eseményekkel. Axiómák, szigma algebra.

2.      A valószínűség tulajdonságai: Poincare-formula, Boole-egyenlőtlenségek, folytonossági tulajdonság.

3.      Feltételes valószínűség, események, esemény rendszerek függetlensége. Teljes valószínűségi tétel, Bayes-tétel, szorzási szabály.

4.      Klasszikus valószínűség, geometriai valószínűség. Példák az alkalmazásokra: urnamodellek, Buffon-féle tűprobléma.

5.      Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét és folytonos eset. Az eloszlásfüggvény négy tulajdonsága. Intervallumok valószínűségei. Diszkrét eloszlás. Sűrűségfüggvény.

6.      Nevezetes diszkrét v.v.: binomiális, Poisson, geometriai. A binomiális eloszlás közelítése a Poisson-eloszlással. A geometriai eloszlás örökifjú tulajdonsága.

7.      Nevezetes folytonos v.v.: egyenletes, exponenciális, normális. Szimuláció egyenletes eloszlással. Az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága. A standard normális eloszlás, lineáris transzformáció.

8.      Várhatóérték, szórás, momentumok. Várhatóértékre, szórásra vonatkozó tételek. Nevezetes eloszlások várható értékei, szórásai.

9.      Steiner- tétel. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Együttes- és vetületi eloszlásfüggvény, függetlenség, konvolúció. Diszkrét és folytonos eset.

10.  Együttes- és vetületi eloszlás. Együttes- és vetületi sűrűségfüggvény. Transzformált változó várható értékének kiszámolása. Változók lineáris kombinációjának várható értéke, független változók összegének, különbségének szórása.

11.  Nagy számok törvényei: Csebisev-, Bernoulli- és Kolmogorov-féle alak. Centrális határeloszlás-tétel, Moivre-Laplace-tétel.

12.  Kovariancia, korrelációs együttható. A korrelációs együttható és a kovariancia tulajdonságai. Kapcsolat a függetlenség és a korrelálatlanság között.

13.  Feltételes eloszlás, feltételes várhatóérték, lineáris regresszió. A regresszió tulajdonságai. Példák diszkrét és folytonos esetben.

14. Kétdimenziós normális eloszlás, polinomiális eloszlás. A függetlenség és korrelálatlanság kapcsolata normális esetben. A regresszió normális esetben lineáris. A polinomiális eloszlás vetületei binomiálisak.

Heti 2 óra előadás és heti 2 órás gyakorlat.

Szorgalmi időszak:

A gyakorlatokon való részvétel kötelező (TVSZ 14§ (3)).
A félév során két egyenként 120 pontos zárthelyi megírására kerül sor, ezek legalább elégségesre (40 pont) való teljesítése az aláírás feltétele.

Vizsgaidőszak:

A vizsga írásbeli. A félévközi zárthelyik átlagga és a vizsgadolgozat eredménye 50%-50%-aránybanban számít bele a vizsgaeredménybe. Értékelés: az összpontszám 40-54 pont elégséges (2), 55-69 pont közepes (3), 70-84 pont jó (4), 85-120 jeles (5). Legalább kettes vizsgadolgozat esetén lehetőség van szóban 1 jegyet módosítani felfelé és lefelé egyaránt, a választól függően.

A zárthelyikhez tartozik egy pótlási lehetőség: ezen az elégtelen eredmény javítható vagy a hiányzás pótolható. A hallgatónak, ha a zárthelyit nem írta meg, a pótzárthelyit mindenképpen meg kell írnia, különben nem kap aláírást a tárgyból. Ha valaki sikertelenül írta meg az egyik zh-át, de a pótzh-án nem vesz részt, a pótlási hétre szervezett díjköteles pótláson megkísérelheti az aláírás megszerzését, amennyiben a másik zh-át legalább 40 pontra megírta.

A pótzárthelyin korábban megírt, eredményes zárthelyi javítása is megkísérelhető, de csak azzal a feltétellel, hogy ilyenkor mindenképpen az új pontszám lesz érvényes, akkor is, ha rosszabb, mint az eredeti. (Ez alól egy kivétel van: a már sikeresen teljesített zárthelyi egy javítónak szánt, de elégtelenre megírt pótzárthelyivel nem vész el, viszont leviszi a megfelelő zárthelyiből származó pontszámot az elégségeshez szükséges minimális pontszám szintjére, azaz 40-re.) Amennyiben a zárthelyi és pótzárthelyi segítségével sem sikerül az egyik zárthelyit legalább elégségesre megírni, a vizsgaidőszak előtti pótlási héten lehetőség nyílik a zárthelyinek az újbóli pótlására. Ennek a második pótzárthelyi alkalomnak a neve “díjköteles pótlás”. Az díjköteles pótláson már nem lehetséges korábban eredményesen megírt zárthelyi javítása. A díjköteles pótláson csak olyan hallgatók vehetnek részt, akik a két zh közül legalább az egyiket már sikeresen megírták.

1. Ketskeméty László: Valószínűségszámítás, Műegyetem Kiadó 55050
2. Ketskeméty László, Pintér Márta (szerk.):Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény megoldásokkal, Arteria Studio Kiadó, 2011
3. Vetier András elektronikus jegyzete: http://www.math.bme.hu/~vetier/df/index.html

a.)	(emelt szintű tematikai és módszertani elemek ) A gyakorlatokon az elméleti összefoglalóval kezdünk, ahol olyan tételek bizonyítását
is közöljük, ami az előadáson nem szerepeltek. 
b.)	(eltérések a reguláris képzés gyakorlataival) A gyakorlatokon kevesebb egyszerű típuspélda, több összetett, trükkös feladat megtárgyalása történik. A típuspéldák begyakorlását
a reguláris képzés gyakorlati feladatainak kiadása segíti.
c.)	A hallgatók szorgalmi feladatokat kapnak, amelyek megoldását otthon készítik el, és lehetőséget kapnak a megoldások beadására,
amiért a gyakorlatvezetőtől plusz pontot kaphatnak. 

A félév során minden hallgató összesen 20 IMSC
ponthoz juthat hozzá valószínűségszámításból.

 5 pontot kaphat a hallgató a gyakvezértől a félévközi HF-ek és a gyakorlatokon mutatott teljesítményéért. Ennek számítása az alábbi. Jelölje hf egy hallgatónál azt a százalékot, amit a félév során beadott házi feladatokból teljesített. Ez az elvileg elérhető pontok százalékos aránya.

1≤hf≤21                     1;
21≤hf≤40                   2;
41≤hf≤60                   3;
61≤hf≤80                   4;
81≤hf≤100                  5;

 A két zh-ért és a vizsgért kaphat a hallgató 5-5 IMSC pontot. Ennek számítási algoritmusa a következő. IMSC pontot akkor kaphat a hallgató egy zh-ért (vagy a vizsgáért), ha a pontszáma legalább 90 az elérhető 120 pontból. Ha zh jelöli a hallgató elért ponteredményét, az IMSC pontok számítása a következő:

90≤zh≤96                   1
97≤zh≤102                  2
103≤zh≤108                3
109≤zh≤112                4
113≤zh≤120                5

 A szorgalmi feladatokkal és a vizsgajegy-pontokkal összesen 20 IMSC-pont szerezhető meg. Az szorgalmi feladatokra kapott pontok csak legalább elégséges vizsgaeredmény esetén érvényesek.

Az IMSC-pontok megszerzése a programban nem résztvevő hallgatók számára is biztosított.