Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A tantárgy célkitűzése a műszaki informatika tanulmányokhoz szükséges és a mérnöki alapműveltséghez tartozó egyes alapvető matematikai ismeretek elsajátítása, azok szemléletmódjának kialakítása. Ezen belül a tantárgy a lineáris algebra és az elemi számelmélet egyes területeire nyújt bevezetést.

A tantárgyat sikeresen teljesítő hallgató képes lesz:

• (K3)  érteni és alkalmazni a tárgyban előkerülő fogalmakat és ismereteket;
• (K3)  önállóan megoldani az anyaghoz kapcsolódó gyakorlati feladatokat;
• (K2)  alkalmazni a tárgyban szereplő algoritmusokat;
  
• (K3)  a későbbi tanulmányok során felismerni azokat a helyzeteket, ahol a tárgyban tanult ismeretek szerephez jutnak és sikerrel alkalmazni a tanultakat.
  

1)      Térbeli koordinátageometria: vektorok a térben, koordinátarendszer, skaláris szorzat. A sík egyenlete. Az egyenes (paraméteres és kanonikus egyenletrendszere). Rⁿ fogalma, műveletek oszlopvektorokkal.

2)      Rⁿ alterének fogalma, műveleti zártság. Lineáris kombináció, generátorrendszer és generált altér fogalma, az utóbbi altér volta. Lineáris függetlenség fogalma, a kétféle definíció ekvivalenciája.

3)      Reláció az alterek lineárisan független rendszereinek, illetve generátorrendszereinek elemszáma között. Bázis és dimenzió fogalma, a dimenzió egyértelműsége. Bázisban való felírás egyértelműsége.

4)      Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-eliminációval. Elemi sorekvivalens lépés, lépcsős alak és redukált lépcsős alak fogalma. Reláció az egyenletek és az ismeretlenek száma között egyértelmű megoldhatóság esetén.

5)      Determináns definíciója. Permutációk inverziószáma. A determináns alaptulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. (n x n)-es lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának jellemzése a determinánssal.

6)      A kifejtési tétel. Térvektorok vektoriális- és vegyesszorzatának fogalma, a vegyesszorzat kapcsolata a determinánssal. Műveletek mátrixok között, egységmátrix, transzponált mátrix. A determinánsok szorzástétele.

7)      Lineáris egyenletrendszerek Ax=b alakban. Kapcsolat a négyzetes mátrix oszlopainak/sorainak lineáris függetlensége, illetve a determináns között. Az inverz mátrix fogalma, az inverz létezésének szükséges és elégséges feltétele. Az inverz kiszámítása. Mátrix rangjának fogalma.

8)      A háromféle rangfogalom egyenlősége, a rang kiszámítása. Lineáris leképezés fogalma, leképezés linearitásának szükséges és elégséges feltétele. Lineáris leképezések kompozíciója, addíciós tételek a sin és cos függvényekre.

9)      Lineáris leképezések kompozíciója, addíciós tételek a sin és cos függvényekre. Lineáris leképezés magtere, képtere, dimenziótétel. 

10)      Bázistranszformáció, lineáris transzformáció mátrixa adott B bázis szerint, annak kiszámítása. Sajátérték és sajátvektor fogalma, a sajátértékek kiszámítása, a karakterisztikus polinom fogalma.

11)      A számelmélet alapjai: oszthatóság, prímszám, a számelmélet alaptétele, a prímek számossága, hézag a szomszédos prímek között, a nagy prímszámtétel. Kongruencia fogalma, alapműveletek kongruenciákkal. Lineáris kongruenciák megoldhatósága.

12)      Euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó kiszámítására, illetve lineáris kongruenciák megoldására. Kétváltozós, lineáris, diofantikus egyenletek, szimultán kongruenciarendszerek megoldása. Euler-Fermat tétel, kis Fermat-tétel.

13)      Számelméleti algoritmusok: kapcsolat az input mérete és a bemenő adatok logaritmusa között, alapműveletek, hatványozás modulo m, prímtesztelés. Nyilvános kulcsú titkosírás, RSA.

14)      Ismétlés, összefoglalás, a tanult anyagrészek rendszerezett áttekintése. A szóbeli vizsgára vonatkozó aktuális vizsgatételsor és az egyes vizsgatételekkel kapcsolatos részletes elvárások ismertetése.

A tárgyból heti 2 óra előadás és heti 2 órás kiscsoportos gyakorlat van.

Az előadásokon az új elmélet kerül bemutatásra, ennek gyakorlása és feladatokban való alkalmazása zajlik a gyakorlatokon. A gyakorlatok mindig szorosan kapcsolódnak a megfelelő előadás anyagához, ezért azokon az  előadáson tanult anyag ismerete elvárás a hallgatóktól. Az előadásokon tárgyalt fogalmak és ismeretek begyakorlása, elmélyítése a gyakorlatokon zajlik, az itt zajló munka (beleértve a házi feladatok megoldását is) a tanulási folyamat alapvető fontosságú része. Az előadások a legtöbb esetben szorosan épülnek a korábbi hetek anyagára, ezek ismerete nélkül az új anyag általában nem követhető.

Az előadások és a gyakorlatok látogatása kötelező. Az előadásokon a jelenlétet azok kezdetén és végén is a félév folyamán minden alkalommal ellenőrizzük, aláírást nem kaphat az a hallgató, aki ezek alapján az alkalmak több, mint 30%-áról hiányzott (a viszonyítási alap a ténylegesen megtartott előadások száma). A gyakorlatokon a jelenlétet minden alkalommal ellenőrizzük, 30%-ot meghaladó hiányzás esetén a tantárgyból sem aláírás sem kreditpont nem szerezhető.

A szorgalmi időszakban: A félév folyamán két zárthelyit íratunk. A félévvégi aláírás megszerzésének (vagyis a vizsgára bocsátásnak) feltétele a zárthelyiken külön-külön legalább 30% -os teljesítmény és a két zárthelyi átlagában legalább 40%-os teljesítmény.

Azok a hallgatók, akik egy korábbi félévből érvényes aláírással rendelkeznek, megkísérelhetik újból megírni a zárthelyiket, hogy a korábbi zárthelyik eredményein javítsanak. Erre az esetre az alábbi feltételek vonatkoznak:

• Ha sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor a vizsgajegybe (lásd lentebb) az így kapott eredmény számít bele (akkor is, ha ez rosszabb).

• Ha nem sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor az aláírás nem vész el, de a vizsgajegybe csak az aláírás megszerzéséhez szükséges minimális pontszámot számítjuk be.

Ha egy érvényes aláírással rendelkező hallgató az aktuális félévben legalább egy zárthelyin megjelenik, azt úgy tekintjük, hogy az illető kísérletet tett az aláírás feltételeinek újbóli teljesítésére (és rá a fenti feltételek vonatkoznak). Ellenkező esetben a legutolsó olyan félévbeli teljesítményt vesszük figyelembe, amikor a hallgató megkísérelte az aláírás feltételeinek teljesítését.

A vizsgaidőszakban:Vizsgára az jelentkezhet, aki érvényes aláírással rendelkezik.

A vizsga ebből a tárgyból szóbeli. A vizsga megkezdésekor a vizsgázó a tárgyhoz tartozó tételsorból egyetlen tételt kap, amelynek a kidolgozására (vagyis a szóbeli felelethez egy bő jegyzet készítésére) legalább 45 perc áll rendelkezésre. A felelet abból áll, hogy egyrészt a vizsgázó a jegyzeteire támaszkodva részletesen beszámol a húzott tételről, másrészt a vizsgáztató néhány szúrópróbaszerű, az anyag többi részével kapcsolatos kérdésére válaszol. (A vizsga sikerességéhez tehát nem elég a kihúzott tétel ismertetése, az imént említett további kérdésekre is kell tudni válaszolni.) Az elégséges megszerzésének feltétele, hogy a vizsgázó a tételsorban vastagon szedett definíciókat, tételeket, algoritmusokat el tudja mondani és értse is azokat. Természetesen a tételsor nem vastagon szedett részeit is tudni (és érteni) kell, ezek esetében azonban egy-két hiányosság még nem okoz bukást.

A vizsgajegyet a két zárthelyi eredményéből és a vizsgán nyújtott szóbeli teljesítményből alakítjuk ki olyan módon, hogy abba a zárthelyik átlaga 40 százalék erejéig, a szóbeli vizsga 60 százalék erejéig számít bele. Ha a szóbeli vizsga elégtelen, akkor a vizsgajegy is elégtelen (függetlenül a zárthelyik eredményétől). Ismétlő vizsga esetén a zárthelyikből származó eredmények változatlanul érvényesek.

A tárgyhoz tartozó vizsgatételsor félévről félévre változik, az aktuális félévre érvényes vizsgatételsor a tárgy tanszéki weboldaláról tölthető le a szorgalmi időszak utolsó hetétől.

Elővizsga: nem lehetséges

A két zárthelyin kívül a szorgalmi időszakban pótzárthelyi írható, melyen bármelyik (de nem mindkettő) zárthelyi eredménye javítható vagy a hiányzás pótolható.

A pótzárthelyin korábban megírt, eredményes zárthelyi javítása is megkísérelhető, de csak azzal a feltétellel, hogy ilyenkor mindenképpen az új pontszám lesz érvényes, akkor is, ha az rosszabb, mint az eredeti. (Ez alól egy kivétel van: ha a hallgató az aláírás feltételeit már teljesítette, de a javítónak szánt zárthelyi új pontszámával a feltételek valamelyikét nem teljesíti, akkor a hallgató az aláírást megkapja, de a zárthelyikből származó pontszáma az elégségeshez szükséges minimális pontszám lesz.)

Amennyiben a zárthelyik és a pótzárthelyi segítségével sem sikerül a feltételeket teljesíteni, a vizsgaidőszak előtti "pótlási héten" lehetőség nyílik az egyik (szabadon választott) zárthelyinek az újbóli pótlására, illetve javítására a feltételek teljesítése érdekében. Ennek a második pótzárthelyi alkalomnak a neve "díjköteles pótlás".

Bevezetés a számításelméletbe 1. – digitális jegyzet, a tárgy tanszéki weboldaláról letölthető

Katona Y. Gyula - Recski András - Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, TypoTeX Kiadó, 2003.

Friedl Katalin - Recski András - Simonyi Gábor: Gráfelméleti feladatok, TypoTeX Kiadó, 2006.