Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

Lineáris algebra, analízis, szabályozástechnika

A lineáris szabályozástechnikában megismert módszerek általánosítása és kiterjesztése egyes, gyakorlati jelentőséggel is bíró dinamikus rendszerek esetében. Szintén cél, hogy a hallgatók készségszinten megismerjék a gyakorlatban az ipari és akadémiai kutatások során a szabályozási algoritmusok implementálásához szükséges informatikai technológiákat.

1. Differenciálgeometriai alapfogalmak definíciója és hozzájuk kapcsolódó példák. Véges dimenziós, euklideszi sokaságok koordinátafüggetlen definíciója, vektormezők, műveletek vektormezőkkel: Lie deriváltak, Lie zárójelek, a műveletek geometriai interpretációi. Dinamikus rendszerek leírása vektormezőkkel. Folyamok és tulajdonságaik. Sodrásos és sodrásmentes dinamikus rendszerek. Disztribúciók és részsokaságok. Involutív disztribúciók, az involutív zárás és számítási algoritmusa. A részsokaságok és az involtivitás kapcsolata: Frobenius tétele és bizonyítása. A tétel következményei, kanonikus koordinátatranszformációk. (2 hét)
2. Folytonos nemlineáris sodrásos és sodrásmentes dinamikus rendszerek analízise. Az irányíthatóság és a megfigyelhetőség definíciói és geometriai interpretációik: a sodrás szerepe az irányíthatóságban és megfigyelhetőségben. Irányíthatósági és megfigyelhetőségi háromszög alakok, irányítható és megfigyelhető részsokaságok. Kapcsolat a lineáris dinamikus rendszerek esetében korábban megismert hasonló definíciókkal. (1 hét)
3. Adott kimenethez tartozó relatív fokszám fogalma és számítása. A relatív fokszám, mint differenciális távolság adott kimenet és bemenet között. Egyszerű, nemlineáris dinamikus példarendszerek és rendszerosztályok modellezése és analízise: anyagmozgató berendezések modelljeinek és járműmodellek vizsgálata (1 hét)
4. Transzformációk lokális csoportja, Lie csoport, vektormezők, folyamok és Lie csoportok közötti kapcsolat. Lie algebra, a Lie csoport Lie algebrája, exponenciális leképzés, adjungált leképzés, nilpotencia, Cambell-Baker-Haussdorff formula, Philip Hall bázisok és koordináták. Példák: Lie csoportok, Lie algebra, exponenciális leképzés. Philip Hall bázisok és koordináták (1,5 hét)
5. Ekvivalencia nemlineáris és lineáris rendszerek között. A munkapont körüli és az egzakt linearizálás fogalma, az utóbbi jelentősége. Egybemenetű rendszerek egzakt linearizálása. Az egzakt linearizálhatóság és a relatív fokszám kapcsolata. Egzakt linearizálhatóság szükséges és elégséges feltételei egybemenetű rendszerek esetében (bizonyítással), következmények. A visszacsatolás és az egzakt linearizálás kapcsolata, statikus és dinamikus visszacsatolás, a visszacsatolás és a relatív fokszám viszonya. Példák: robotok, alulirányított mechatronikai rendszerek, járműmodellek. Kapcsolat a korábban szabályozástechnikából tanultakkal (integrátorsorok és a Brunovsky-féle kanonikus alak). (2 hét)
6. Pályatervezés szakaszosan konstans bemenetekkel (Lafferriere-Sussmann algoritmus), a rendszerosztály lehatárolása, a megoldás koncepciója, lényeges jellemzői. A szakaszosan konstans bemenetekkel történő pályatervezés algoritmusa, a konvergencia javítása,  Lafferriere-Sussmann tétel. (1 hét)
7. Pályatervezés periodikus bemenetekkel. holonóm és anholonóm kényszerek közötti különbség, Chow tétel, általános elsőrendű kanonikus rendszer állapotegyenlete, elsőrendű kanonikus rendszer szinuszos bemenetekkel történő pályatervezési algoritmus lépései, az általános másodrendű kanonikus rendszer állapotegyenlete és pályatervezési algoritmus periódikus bemenetekkel, két bemenetű két lánc rendszer szinuszos bemenetekkel történő pályatervezési algoritmusának elve, pályatervezés feltételei nagyfrekvenciás bemenetek esetén. Példák: ugráló robot és kereken guruló mobilis robot.  (1,5 hét)
8. Rétegezett rendszerek pályatervezése. A rétegezett rendszerek definíciója, geometriája. Példák rétegezett rendszerekre (lépegető, ugráló robotok, ujjáthelyezéssel történő robotkezes tárgymanipuláció), rétegezett irányíthatóság elégséges feltétele, Goodwine-tétel, a tétel bizonyítása, a rétegezett mozgástervezési algoritmus koncepciója és lépései. (1 hét).     
9. Pályatervezés sztochasztikus kereséssel. A problémakör definíciója, az RRT (Rapidly Exploring Random Tree) algoritmus koncepciója, az algoritmus lépései. Az algoritmus különböző változatai (bidirekcionális, változó véletlenszerűség alkalmazása). A lokális pályatervezés élek és csomópontok segítségével. Az algoritmus illusztrálása és értékelése.  (1 hét)
10. Kinematikai modellel adott egyszerű (kerekes) mobilis robotok időoptimális pályatervezése a Pontjragin-féle minimum elv alapján: Dubins-jármű, Reeds-Shepp-féle jármű, differenciális meghajtású jármű. A járművek modellje a közöttük lévő hasonlóságok és különbségek. Az optimális pálya mozgásprimitívei és az azokból összeállított sorozatok, az optimális pálya számításának lépései. (1 hét)
11. Esettanulmány 1. Pályatervezési algoritmusok vizsgálata Matlab-Simulink környezetben a szimbolikus toolbox használatával (0.5 hét)
12. Esettanulmány 2. Pályatervezési és szabályozási algoritmusok implementálása gyors prototípustervező eszközökkel. Irányítandó szakasz: invertált inga és/vagy kiskocsi. (0,5 hét)

(előadás, gyakorlat, laboratórium):

előadás

Szorgalmi időszakban: 1 db házi feladat (beadási határidő: 12. oktatási hét)

Vizsgaidőszakban: vizsga

A házi feladat különeljárási díj ellenében a pótlási héten pótolható.

Igény szerint, a hallgatókkal egyeztetett időpontban, vagy az oktatók fogadó órájában.

Jean Lévine. Analysis and Control of Nonlinear Systems. Springer 2009. 

Francesco Bullo, Andrew D. Lewis. Geometric Control of Mechanical Systems. Springer 2005. 

Alberto Isidori. Nonlinear Control Systems. Third Edition. Springer 1995.

A.M. Bloch. Nonholonomic Mechanics and Control. Springer 2003.

Shankar Sastry. Nonlinear systems. Analysis, Stability, and Control. Springer 1999.

: