Matematika

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A tantárgy célja a diszkrét idejű és a folytonos idejű, determinisztikus jelek, lineáris és invariáns rendszerek és hálózatok alaptörvényeinek megfogalmazása, néhány módszer bemutatása a rendszereket leíró egyenletek megoldására az időtartományban, a frekvencia-tartományban és a komplex frekvenciatartományban, a megoldás értelmezése.

Fizikai jelenségek, modellek, törvények. Biológiai és gazdasági folyamatok. Rendszerek és jelek. Mechanikai, termodinamikai, villamos és elektromechanikus rendszerek. Energia, energiamegmaradás és teljesítmény. Rendszereket leíró differenciálegyenletek. Két fontos jel: egységugrás és szinuszos jel. Páros, páratlan és belépő jelek. Jelek deriváltja és integrálja. Általánosított derivált, Dirac impulzus.

Egy villamos rendszer: Kirchhoff hálózat. Kétpólusok, áram, feszültség és teljesítmény. Fizikai irány és referenciairány. Kirchhoff törvények. Feszültség- és áramforrás. Rövidzár és szakadás. Ellenállás. Kondenzátor és töltés. Tekercs és fluxus. Lineáris kétpólusok, rezisztencia, kapacitás, öninduktivitás. Hárompólusok, tranzisztor, sokpólusok. Kétkapuk, transzformátor, vezérelt források.

Kirchhoff hálózatok állapováltozói, állapotegyenlete és állapotváltozós leírása. Lineáris hálózatok és rendszerek állapotváltozós leírása. Kezdő pillanat, kezdeti állapot, kezdeti feltételek. A szuperpozició elve.

Lineáris rendszer állapotegyenletének megoldása, szabad megoldás és gerjesztett megoldás. Sajátértékek, időállandók és sajátfrekvenciák. Stabilitás és a stabilitás határhelyzete.

Az állapotegyenlet numerikus közelítő megoldása. Folyamatos idejű jelek mintavételezése, diszkrét idejű jelek. Diszkrét idejű egységimpulzus, egységugrás és szinuszos jel. Folyamatos idejű rendszer szimulálása diszkrét idejű rendszerrel. Diszkrét idejű rendszer állapotváltozós leírása és rendszeregyenlete. Diszkrét idejű rendszerek realizálása, késleltetô, szorzó és összegző.

A Kirchhoff típusú és a jelfolyam hálózatok összehasonlítása. Folyamatos és diszkrét idejű rendszerek összehasonlítása.

Lineáris diszkrét idejű rendszerek állapotegyenletének megoldása lépésről lépésre módszerrel, mátrix hatványával és ennek spektrális felbontásával. Sajátértékek, stabilitás és a stabilitás határhelyzete.

Lineáris folyamatos idejű rendszerek állapotegyenletének megoldása exponenciális mátrix segítségével.

A teljes időtengelyen értelmezett gerjesztés és válasz. Gerjesztés-válasz kapcsolat. A szuperpozíció elve belépő gerjesztés mellett. Diszkrét és folytonos idejű lineáris rendszerek impulzusválasza. Az impulzusválasz előállítása az állapotváltozós leírás alapján. A válasz kifejezése a gerjesztés és az impulzusválasz konvolúciójaként. Kauzalitás. Gerjesztés-válasz stabilitás és annak vizsgálata az impulzusválasz alapján. A stabilitás határhelyzete. Folyamatos idejű rendszer szimulálása diszkrét idejű rendszerrel az impulzusválasz alapján.

Szinuszos gerjesztésű, stabilis rendszerek állandósult állapota. Folytonos és diszkrét idejű szinuszos jelek komplex alakja. Az átvileli együttható és az átviteli karakterisztika. Az átviteli karakterisztika számítása az állapotváltozós leírás alapján.

Diszkrét és folytonos idejű periodikus jelek Fourier sorának komplex és valós alakja. Egy folytonos idejű periodikus jel és abból mintavételezéssel adódó diszkrét idejű jel Fourier együtthatóinak kapcsolata. A válasz Fourier sorának számítása periodikus állandósult állapotban.

Általános folytonos és diszkrét idejű jelek spektrális előállítása, a Fourier transzformáció és az inverz transzformáció. Derivált tétel, eltolási tétetel, modulált jel spektruma. A jel energiája és annak spektrális előállitása, Parseval tétele. Egy folytonos idejű jel és abból mintavételezéssel adódó diszkrét idejű jel Fourier transzformáltjainak kapcsolata. A mintavételi tétel. A válasz spektrumának számítása.

Folytonos idejű jelek Lapalace-transzformáltja, az inverz transzformáció. A derivált tétel és az eltolási tétel. Diszkrét idejű jelek z-transzformáltja, inverz transzformáció. Az eltolási tétel. A válasz Laplace- ill. z-transzformáltjának számitása, az állapotváltozós leírás megoldása a komplex frekvenciatartományban. Az átviteli függvény, pólus-zérus elrendezés. A rendszeregyenlet előállítása az átviteli függvényből. Diszkrét idejű rendszer átviteli függvényének realizálása. Folytonos idejű rendszer szimulálása diszkrét idejű rendszerrel a komplex frekvencia tartományban.

Folytonos idejű rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban az átviteli karakterisztika alapján. Kapcsolat egy belépő függvény Fourier-transzformáltjának valós és képzetes része között, Hilbert-transzformáció. Kapcsolat az amplitudó és fázis karakterisztika között, Bode tételei. Minimálfázisú és mindentáteresztő rendszerek. Torzítatlan jelátvitel. Az ideális aluláteresztő szűrő. Szűrők specifikációja, toleranciasémája. Mintavételezett jel rekonstrukciója aluláteresztő szűrővel és elsőrendű tartóval.

Elôadások és gyakorlatok tanteremben.

A gyakorlatokon 5 alkalomal kiszárthelyit íratunk, melyet 1-5 ponttal értékelünk. Egy házi feladatot kell megoldani.

Feladatkiadás: 7. hét, beadás: 13. hét

Kiszárthelyi pótlására nincs lehetőség, a meg nem írt zárthelyit 1 eredményűnek tekintjük. Határidő elmulasztása esetén csak különeljárási díj befizetésével adható be házi feladat.

Az aláírás megszerzésének feltételei:

- a házi feladatot legkésőbb a szorgalmi időszak utolsó előtti hetében a hallgató elfogadható formában beadta. Az elfogadás feltétele: minden részfeladatra elvi hiba nélküli megoldás van, és az eredményeknek legalább 60 %-a numerikusan is helyes.

A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

A vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbelin szerezhető maximális pontszám 30. Az írásbeli eredménye 15 pont alatt elégtelen, ez nem jogosít szóbeli vizsgára, a vizsga minősítése elégtelen (1). A 15-30 pontos írásbeli szóbeli vizsgára jogosít, 15 pontos írásbeli bizonyul elégségesnek, 18 pontos közepesnek, 21 pontos jónak, 24 pontos jelesnek. A végső osztályzat az írásbeli eredményéből kiindulva a szóbelin alakul ki..

.

Az aláírás megszerzésére a vizsgaidőszak első három hetében a tanszék által kitűzött egy alkalommal lehet kisérletet tenni. Nem megfelelő zárthelyi pontszám esetén pótzárthelyit kell írni, amelyen legalább elégséges eredményt kell elérni, házi feladat elmaradása esetén az elfogadhatóra kijavított házi feladatot a kiírt időpont előtt két munkanappal be kell adni. Nem pótolható vizsgaidőszakban az a házi feladat, amelyet a szorgalmi időszakban egyszer sem adtak be.

A szorgalmi időszakban a tárgy oktatójának heti fogadóóráján, a vizsgaidőszakban a vizsga előtti munkanapon lehet konzultálni. A fogadóóra időpontja illetve a konzultáció helye és ideje a tanszéki hirdetőtáblán található.

F. de Coulon, M. Jufer: Introduction ŕ l’électrotechnique, Presses Polytechniques Romandes, Lausanne.

R. Boite, J. Neirynck: Théorie des réseaux de Kirchhoff, Presses Polytechniques Romandes, Lausanne.

R. Boite, H. Leich: Les filtres numériques, Masson, Paris.