Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással
    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Matematika A1 villamosmérnököknek

    A tantárgy angol neve: nincs megadva

    Adatlap utolsó módosítása: 2025. július 9.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar     		Villamosmérnöki Szak, BSc képzés 
    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TEMIBSVMAT1-00   6/2/0/v 8  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Molnár Zoltán Gábor,
    A tantárgy tanszéki weboldala https://math.bme.hu/~lfarkas/MatA1Vill.html
    4. A tantárgy előadója Dr. Molnár Zoltán Gábor, Dr. Farkas Lóránt
    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Középiskolai matematikai ismeretek
    7. A tantárgy célkitűzése Kötelező alaptárgy a Villamosmérnök BSc képzésben.
    8. A tantárgy részletes tematikája

    1. hét: Matematikai logika és halmazelméleti alapok.

    Előadás: Logikai állítások és műveletek, műveletek tulajdonságai, de Morgan azonosság. Bizonyítási módszerek (lánckövetkeztetés, kontrapozíció, indirekt, teljes indukció).  Elemi halmazelméleti fogalmak és műveletek. Relációk, ekvivalenciarelációk és függvények. Halmazok számossága.

    Nagytantermi: Radián, szögfüggvények általánosítása π-n túl, egyszerűbb trigonometrikus egyenletek. Trigonometrikus addíciós tételek és alkalmazásuk. 

    2. hét: Vektoralgebra.

    Műveletek sík- és térvektorokkal. Vektorok skaláris, vektoriális és vegyes szorzata. Az egyenes és sík egyenletei.

     

    Egyenes és kör kölcsönös helyzete a koordinátasíkon. Az exponenciális és logaritmikus függvény és egyszerűbb egyenletek és egyenlőtlenségek, a logaritmus azonosságai.

    3. hét: Analitikus geometria.

    Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete. Egyenesek és síkok távolsága és az általuk bezárt szög.

     

    Polinomok, törtfüggvények és abszolútérték függvény. Elemi függvénytulajdonságok, elemi függvényvizsgálat.

    4. hét: Valós és komplex számok. 

    Valós számok értelmezése. Racionális számok és irracionális számok tulajdonságai. R topológiája. Nyílt halmazok, zárt halmazok. Belső pont, határpont, torlódási pont. A komplex számok és azok tulajdonságai. Algebrai, trigonometrikus és Euler-alak. Komplex számok hatványozása, komplex gyökvonás.


    Számtani és mértani sorozat, rekurzív sorozatmegadás, elemi sorozattulajdonságok.

    5. hét: Valós számsorozatok I.

    Valós numerikus sorozatok és határértékük. Konvergens és divergens sorozatok tulajdonságai. Végtelenhez tartó sorozatok. A határérték egyértelműsége. A határérték tulajdonságai. Határérték és egyenlőtlenségek. Határérték és műveletek.


    Becslések és nevezetes átalakítások az algebrai törtek alakját öltő határértékeknél.

    6. hét: Valós számsorozatok II.

    Monoton és korlátos sorozatok tulajdonságai. Részsorozatok. Cauchy-kritérium. Nevezetes határértékek. Torlódási pontok jellemzése sorozatokkal. Bolzano-Weierstrass-tétel. liminf, limsup. 

     
    Becslések és átalakítások az nevezetes határértékekhez kapcsolódóan. 

    7. hét: Valós függvények jellemzése.

    Valós változós, valós értékű függvények globális tulajdonságai (paritás, periodikusság, monotonitás, konvexitás). Jensen-egyenlőtlenség. Függvény határértéke és a határérték elemi tulajdonságai. Átviteli elv. Bal- és jobboldali határérték. Szakadási helyek osztályozása.

    Becslések és nevezetes átalakítások az algebrai törtek alakját öltő határértékeknél.

    8. hét: Folytonos függvények jellemzése, elemi függvények.

    Függvények folytonossága. Folytonos függvények tulajdonságai. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények. Bolzano-tétel. Weierstrass-tétel. Egyenletes folytonosság. Heine-tétel. Elemi függvények. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények. Exponenciális és hatványfüggvények. Logaritmusfüggvények. Trigonometrikus függvények és inverzeik. Hiperbolikus függvények és inverzeik.

    Becslések és átalakítások az nevezetes határértékekhez kapcsolódóan. 

    9. hét: A differenciálszámítás alapjai.

    A differenciálhatóság fogalma. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabbrendű deriváltak. Lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata.

    Átalakítások és stratégiák a differenciálok kiszámításával kapcsolatban.

    10. hét: A differenciálszámítás alkalmazásai.

    Középértéktételek (Rolle, Lagrange, Cauchy, l'Hospital-szabály). Differenciálható függvények vizsgálata. Taylor-polinom. Alkalmazások.

    Átalakítások és stratégiák a függvényvizsgálat differenciális módszereivel kapcsolatban.

    11. hét: A határozatlan integrál.

    A határozatlan integrál fogalma és elemi határozatlan integrálok. A határozatlan integrál tulajdonságai és integrálási módszerek. Parciális és helyettesítéses integrál. Parciális törtekre bontás. Racionális törtfüggvények integrálása.

    Átalakítások és stratégiák a primitívfüggvény kereséssel kapcsolatban.

    12. hét: A Riemann-integrál.

    A Riemann-integrál definíciója és tulajdonságai. A Riemann-integrálhatóság kritériumai, oszcillációs összeg, Lebesgue-tétel. Newton-Leibniz-tétel. Integrálfüggvény.

    Átalakítások és stratégiák a határozott integrál kiszámításával kapcsolatban.

    13. hét: Improprius integrál és az integrálszámítás alkalmazásai.

    Az improprius integrál. A határozott integrál matematikai és fizikai alkalmazásai. (terület, forgástest térfogata, felszíne, integrálkritérium sorokra, súlypont, tehetetlenségi nyomaték, stb.) Példák.

    Átalakítások és stratégiák az integrál alkalmazásaival kapcsolatban.

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) 4 óra előadás (frontális, interaktív), 2 óra nagytantermi gyakorlat (irányított feladatmegoldás, frontális, interaktív), 2 óra kistantermi gyakorlat (egyéni- és csoportmunka), .
    10. Követelmények

    Az aláírás megszerzésének feltételei: 1. mindként zh teljesítése, azaz az összpontszám legalább 30%-ának elérése külön mindkét zh-n, 2. jelenlét mind a gyakorlatok, mind az előadások, mind a nagytantermi gyakorlatok legalább 70%-án. Javítási lehetőség: mindkét zh pótolható a pótzh-n, majd díjköteles pótláson. Sikeres zh javítása a TVSZ szerint lehetséges.

    A vizsga megkezdésének feltétele: az aláírás megléte.

    A vizsga teljesítésének feltétele. A minimumpontszám elérése, azaz az összpontszám legalább 40%-ának elérése. Sikertelenség esetén a javítás lehetősége: a vizsga újbóli felvétele (a TVSZ szerint meghatározott módon). 

    A vizsgajegy meghatározása. v az írásbeli vizsga eredménye százalékban, z a két zh pontszámának számtani közepe százalékban. Ekkor a kollokvium eredménye: n = max { v , (v + z)/2 }. A jegy: elégtelen (1), ha v<40; elégséges (2), ha 40≦v és 40≦n<55; közepes (3), ha 40≦v és 55≦n<70; jó (4), ha 40≦v és 70≦n<85; jeles (5), ha 40≦v és 85≦n. Javítás kezdeményezése, ha a vizsgát teljesítette (TVSZ-ben rögzített módon): a vizsga újbóli felvétele vagy szóbeli vizsgázás szándékénak jelzése. A szóbeli vizsga jegyszerzésre nem, csak javításra szolgál.

    11. Pótlási lehetőségek Az 1. és 2. zárthelyi pótlása: mindkét zárthelyi pótolható a szorgalmi időszak végén, majd díjköteles pótlásként újból a pótlási héten. A TVSZ értelmében a pótzárthelyi javító jelleggel is megírható. Sikertelen vizsga ismételt vizsgaként pótolható.
    12. Konzultációs lehetőségek Számonkérések előtt szervezett konzultációk, továbbá egyéni konzultációk fogadóórákon.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom Thomas, Kalkulus (TypoTex, 2006)
    Babcsányi I.-Wettl F. Matematikai feladatgyűjtemény I. (Műegyetemi Kiadó, 1998)
    Császár Ákosné, Matematika I.1-3. (BME jegyzet)
    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra112
    Félévközi készülés órákra28
    Felkészülés zárthelyire30
    Házi feladat elkészítése30
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása0
    Vizsgafelkészülés40
    Összesen
    		240
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Horváth Miklós, Dr. Molnár Zoltán Gábor
    IMSc tematika és módszer Az IMSc programban résztvevő hallgatók által látogatott gyakorlatokon az
    anyag magasabb szintű, mélyebb elsajátítása érdekében más feladatokat
    dolgozunk fel, mint a többi kurzuson. Kevesebb bevezető, rutin, gyakorló
    feladat szerepel és több nehezebb, gondolkodtatóbb feladat lesz.
    IMSc pontozás A tárgyból összesen 40 IMSc pont szerezhető, mégpedig a következő módon.  Minden zárthelyin és vizsgazárthelyin szerepel +16% megjelölt, a szokásosnál nehezebb példa. Ennek megoldására nem áll rendelkezésre külön idő, ennek eredménye nem számít be a zárthelyi eredményébe, és csak jeles szintű zárthelyik esetében kerül javításra. A két félévközi zárthelyin és a vizsgazárthelyin legfeljebb 10-10 IMSc pont szerezhető a megjelölt feladatokból. Az IMSc pontok megszerzése a
    programban nem résztvevő hallgatók számára is biztosított.