Véletlen mátrixok

A tantárgy angol neve: Random Matrices

Adatlap utolsó módosítása: 2006. július 1.

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Doktoranduszi választható tárgy

VIK számára

Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
TE925017 1 2+0v 3 1/2
4. A tantárgy előadója

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Petz Dénes

egy. tanár

Analízis Tsz.

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít

A valószínűségszámítás és a lineáris algebra alapfogalmai

6. Előtanulmányi rend
Kötelező:
TárgyEredmény( "BMETE951191" , "jegy" , _ ) >= 2 VAGY TárgyEredmény( "BMETE951058" , "jegy" , _ ) >= 2

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

Ajánlott:

Valószínűségszámítás vagy

Matematika B4

7. A tantárgy célkitűzése

Áttekintést adni az elmélet alapjairól és néhány alkalmazási lehetőséget bemutatni.

8. A tantárgy részletes tematikája

Ortogonális és unitér mátrix értékű valószínűségi változók. Topologikus csoportok, unitér csoport. Eltolásinvariáns mérték (Haar mérték) létezése és egyértelműsége lokálisan kompakt topologikus csoportokon. n dimenziós unitérek csoportja mint 2n dimenziós egységgömb felülete, integrálás többdimenziós egységgömb felületén, Haar mérték sűrűségfüggvényének meghatározása alacsony dimenzós unitér és ortogonális csoportokon. Haar eloszlású unitér értékű valószínűségi változó konstrukciója, tulajdonságai, elemek abszolútértékének eloszlása, elemek határeloszlása. Eloszlásfüggvények pontonkénti konvergenciájának meghatározása momentumok illetve Fourier transzformált segítségével. Haar unitér hatványok nyomának határeloszlása, sajátértékek határeloszlása és együttes eloszlása.

Gauss mátrixok unitér invarianciája, önadjungált Gauss mátrixok, Wigner mátrixok. Önadjungált Gauss mátrixok sűrűségfüggvényének meghatározása, sajátértékek együttes sűrűségfüggvénye. Wigner féle félköreloszlás, Wigner mátrixok sajátértékeinek aszimptotikus viselkedésének meghatározása a momentum módszerrel alacsony momentumok végessége esetén. A legnagyobb illetve a legkisebb sajátérték aszimptotikus viselkedése.

Nem önadjungált Gauss mátrixok, poláris felbontás, sajátértékek határeloszlása.

Wishart mátrixok. Marcsenkó-Pastur eloszlás, sajátértékek eloszlásának konvergenciája a dimenzió és a rang hányadosának különböző határértékei esetén, legnagyobb illetve legkisebb sajátérték aszimptotikus viselkedése.

Alkalmazások. Boltzmann gázok, véletlen gráfok.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

(előadás, gyakorlat, laboratórium):

előadás

10. Követelmények

a. A szorgalmi időszakban: ---

b. A vizsgaidőszakban: vizsga

  1. Elővizsga: ---
11. Pótlási lehetőségek

nincs

12. Konzultációs lehetőségek

folyamatosan

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

M. L. Mehta, Random Matrices, (1991)

F. Hiai, D. Petz, The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy, (2000)

A. Wawrzynczyk, Group representations an Special Functions, (1984)

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

(a tantárgyhoz tartozó tanulmányi idő körülbelüli felosztása a tanórák, továbbá a házi feladatok és a zárthelyik között (a felkészülésre, ill. a kidolgozásra átlagosan fordítandó/elvárható idők félévi munkaórában, kredit x 30 óra, pl. 5 kredit esetén 150 óra)):

Kontakt óra

28

Félévközi készülés órákra

14

Felkészülés zárthelyire

-

Házi feladat elkészítése

-

Kijelölt írásos tananyag elsajátítása

-

..

-

Vizsgafelkészülés

48

Összesen

90

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Petz Dénes

egy. tanár

Mat. Int., Analízis Tsz.