Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajos	egyetemi tanár	TTK Algebra Tanszék
Dr. Lukács Erzsébet	egyetemi docens	TTK Algebra Tanszék
Dr. Ferenczy Miklós	egyetemi docens	TTK Algebra Tanszék

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Az Algebra legintenzívebben alkalmazott területének a Lineáris algebrának és informatikai alkalmazásainak haladó tárgyalása. Ilyen alkalmazások például: a kódelméleti és kriptográfiai alkalmazások, a sztochasztikus mátrixok vizsgálata, valamint az SVD alkalmazása az információkeresési gyakorlatban. A Matematikai Logika és az Algebra szoros kapcsolatának bemutatása az állításlogika és a Boole algebrák kapcsolatának elemzésén keresztül. Tárgyaljuk ezen kapcsolat általánosítási lehetőségeit, valamint alkalmazását is. A Matematikai logika legfontosabb fogalmainak feldolgozása és a témakör néhány informatikai alkalmazásának bemutatása, úgymint: gépi bizonyítás, logikai programozás, modellalkotás a mesterséges intelligencia részére, bonyolultságelmélet. Annak bemutatása, hogy a Matematikai logika minden fontos szintje, így a nyelv, a szemantika és a bizonyításelmélet is fontos szerephez jut az elméleti számítástudományban.

A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:

• értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
• a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
• legyen képes a szakirodalomra támaszkodva bővíteni az idevágó ismereteit.

A lineáris algebra tanult fogalmainak áttekintése (4 óra)

Vektorterek, alterek, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések, képtér, magtér, dimenzió tétel, műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mint formális objektumok. Lineáris leképezések és műveleteik reprezentálása mátrixokkal. Báziscsere. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Diagonizálás, spektrál felbontás. Mátrix hatványa. Lineáris egyenletrendszerek diszkussziója. Megoldás Gauss eliminációval. Determináns fogalma.

Lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi terekben, normálformák (4 óra)

Euklideszi tér fogalma. Szimmetrikus, önadjungált, unitér, normális, projektor operátorok és mátrixaik. Jordan normálforma.

Nemnegatív elemű mátrixok (6 óra)

Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius-König-tétel.

Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (6 óra)

Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart-Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

A lineáris algebra további alkalmazásairól (6 óra)

A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

Formális nyelv, formalizálás (2 óra)

Tárgynyelv-metanyelv, infix-prefix írásmód, nulladrendű-magasabbrendű nyelv, egyértelmű olvashatóság. A nyelv elemei. Formulák és kifejezések.

Logikai szemantika - a halmazelméletre alapozva (6 óra)

Struktúra, algebra, modell. Interpretáció. Az „igazság" definíciója - a halmazelméletre építve. Igazsághalmazok és tulajdonságaik. Különféle típusú modellek: állítás, elsőrendű, modális, stb. Példák mesterséges intelligenciabeli alkalmazásokra. A logikai következmény fogalom. Dedukció tétel. Nevezetes logikai ekvivalenciák. Normálformák: konjunktív, prenex, Skolem.

Bizonyításelmélet (6 óra)

Az axiomatikus módszer. Levezetési és cáfolati bizonyítási rendszerek. Hilbert rendszer, analitikus fák, rezolúció. A logikai programozásról. Elmélet fogalma. Axiomatizálhatóság, eldönthetőség, ellentmondástalanság, teljesség. Kompaktsági tétel (szintaktikai). A gépi bizonyításról.

A szemantika és a bizonyításelmélet kapcsolatáról (4 óra)

A logika (matematika) szemantikai és bizonyításelméleti megközelítése egyenértékű: Gödel teljességi tétele és változatai. Bizonyításelméleti fogalmak modellelméleti jellemzései, modell módszer. Egy elmélet ellentmondástalan akkor és csak akkor ha kielégíthető. A kompaktsági tétel (szemantikai) és a végesítés fogalma.

A bizonyításelmélet korlátai: Gödel inkomplettségi és Church eldönthetetlenségi tételei. E tételek interpretációi a tudomány metodológiában. A Löwenheim-Skolem típusú tételek és jelentőségük. Kitekintés a magasabb rendű logikákra.

A Matematikai logika néhány további alkalmazása (4 óra)

Néhány bonyolultsági osztály jellemzése logikai problémákkal, Fagin tétele. A végtelen kicsiny mennyiség (infinitezimális) bevezetése egy modell konstrukció, az ultrahatvány ill. a kompaktsági tétel segítségével. A valós számfogalom bővítése: a hipervalós számok. Newton és Leibniz analízisének rekonstrukciója e fogalmak segítségével: Nem-standard analízis. A folytonosság, differenciálhatóság és integrálhatóság nem-standard definíciói.

Matematikai logika és az Algebra kapcsolatáról (4 óra)

Néhány párhuzamba állítható logikai és Boole algebrai fogalom: elmélet - szűrő, komplettség - prím, levezethető - kisebb, axiómák üres halmaza - szabad algebra, axiómák feltételezése - relativizálás, stb. A szóban forgó kapcsolat alkalmazása a valószínűségszámításban (eseményalgebrák) és hálózatok elemzésénél. Általánosítások elsőrendű logikára.

A tárgyhoz csak előadások tartoznak.

1. A szorgalmi időszakban: egy összegző értékelés zárthelyi dolgozat formájában. Az aláírás megszerzésének (és egyeben a vizsgára bocsátásnak) a feltétele a dolgozat legalább elégséges szintű teljesítése.

2. A vizsgaidőszakban: írásbeli teljesítményértékelésből és a félévközi zárthelyi dolgozat eredményének beszámításából álló kombinált vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyi dolgozat eredménye és felerészben a vizsgadolgozat eredménye alapján történik.

[1]  V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[2]  Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

[3]  Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

[4]  Ferenczi Miklós: Matematikai logika, Műszaki kiadó, 2002.