Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Felsőbb matematika informatikusoknak - Alkalmazott algebra és matematikai logika

    A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Informaticians - Applied Algebra and Mathematical Logic

    Adatlap utolsó módosítása: 2017. szeptember 6.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar

    Mérnökinformatikus szak, MSc képzés         

    Közös tantárgy         

    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90MX57 2 4/0/0/v 4  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Rónyai Lajos, Algebra Tanszék
    4. A tantárgy előadója

    Név: Beosztás: Tanszék, Intézet:
    Dr. Rónyai Lajos egyetemi tanár TTK Algebra Tanszék
    Dr. Lukács Erzsébet egyetemi docens TTK Algebra Tanszék
    Dr. Ferenczy Miklós egyetemi docens TTK Algebra Tanszék

    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít BSc matematika
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX42" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90MX42", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

    Ajánlott:
    -
    7. A tantárgy célkitűzése

    Az Algebra legintenzívebben alkalmazott területének a Lineáris algebrának és informatikai alkalmazásainak haladó tárgyalása. Ilyen alkalmazások például: a kódelméleti és kriptográfiai alkalmazások, a sztochasztikus mátrixok vizsgálata, valamint az SVD alkalmazása az információkeresési gyakorlatban. A Matematikai Logika és az Algebra szoros kapcsolatának bemutatása az állításlogika és a Boole algebrák kapcsolatának elemzésén keresztül. Tárgyaljuk ezen kapcsolat általánosítási lehetőségeit, valamint alkalmazását is. A Matematikai logika legfontosabb fogalmainak feldolgozása és a témakör néhány informatikai alkalmazásának bemutatása, úgymint: gépi bizonyítás, logikai programozás, modellalkotás a mesterséges intelligencia részére, bonyolultságelmélet. Annak bemutatása, hogy a Matematikai logika minden fontos szintje, így a nyelv, a szemantika és a bizonyításelmélet is fontos szerephez jut az elméleti számítástudományban.

    A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:

    • értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
    • a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
    • legyen képes a szakirodalomra támaszkodva bővíteni az idevágó ismereteit.
    8. A tantárgy részletes tematikája  

    A lineáris algebra tanult fogalmainak áttekintése (4 óra)

    Vektorterek, alterek, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések, képtér, magtér, dimenzió tétel, műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mint formális objektumok. Lineáris leképezések és műveleteik reprezentálása mátrixokkal. Báziscsere. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Diagonizálás, spektrál felbontás. Mátrix hatványa. Lineáris egyenletrendszerek diszkussziója. Megoldás Gauss eliminációval. Determináns fogalma.

    Lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi terekben, normálformák (4 óra)

    Euklideszi tér fogalma. Szimmetrikus, önadjungált, unitér, normális, projektor operátorok és mátrixaik. Jordan normálforma.

    Nemnegatív elemű mátrixok (6 óra)

    Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius-König-tétel.

    Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (6 óra)

    Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart-Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

    A lineáris algebra további alkalmazásairól (6 óra)

    A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

    Formális nyelv, formalizálás (2 óra)

    Tárgynyelv-metanyelv, infix-prefix írásmód, nulladrendű-magasabbrendű nyelv, egyértelmű olvashatóság. A nyelv elemei. Formulák és kifejezések.

    Logikai szemantika - a halmazelméletre alapozva (6 óra)

    Struktúra, algebra, modell. Interpretáció. Az „igazság" definíciója - a halmazelméletre építve. Igazsághalmazok és tulajdonságaik. Különféle típusú modellek: állítás, elsőrendű, modális, stb. Példák mesterséges intelligenciabeli alkalmazásokra. A logikai következmény fogalom. Dedukció tétel. Nevezetes logikai ekvivalenciák. Normálformák: konjunktív, prenex, Skolem.

    Bizonyításelmélet (6 óra)

    Az axiomatikus módszer. Levezetési és cáfolati bizonyítási rendszerek. Hilbert rendszer, analitikus fák, rezolúció. A logikai programozásról. Elmélet fogalma. Axiomatizálhatóság, eldönthetőség, ellentmondástalanság, teljesség. Kompaktsági tétel (szintaktikai). A gépi bizonyításról.

    A szemantika és a bizonyításelmélet kapcsolatáról (4 óra)

    A logika (matematika) szemantikai és bizonyításelméleti megközelítése egyenértékű: Gödel teljességi tétele és változatai. Bizonyításelméleti fogalmak modellelméleti jellemzései, modell módszer. Egy elmélet ellentmondástalan akkor és csak akkor ha kielégíthető. A kompaktsági tétel (szemantikai) és a végesítés fogalma.

    A bizonyításelmélet korlátai: Gödel inkomplettségi és Church eldönthetetlenségi tételei. E tételek interpretációi a tudomány metodológiában. A Löwenheim-Skolem típusú tételek és jelentőségük. Kitekintés a magasabb rendű logikákra.

    A Matematikai logika néhány további alkalmazása (4 óra)

    Néhány bonyolultsági osztály jellemzése logikai problémákkal, Fagin tétele. A végtelen kicsiny mennyiség (infinitezimális) bevezetése egy modell konstrukció, az ultrahatvány ill. a kompaktsági tétel segítségével. A valós számfogalom bővítése: a hipervalós számok. Newton és Leibniz analízisének rekonstrukciója e fogalmak segítségével: Nem-standard analízis. A folytonosság, differenciálhatóság és integrálhatóság nem-standard definíciói.

    Matematikai logika és az Algebra kapcsolatáról (4 óra)

    Néhány párhuzamba állítható logikai és Boole algebrai fogalom: elmélet - szűrő, komplettség - prím, levezethető - kisebb, axiómák üres halmaza - szabad algebra, axiómák feltételezése - relativizálás, stb. A szóban forgó kapcsolat alkalmazása a valószínűségszámításban (eseményalgebrák) és hálózatok elemzésénél. Általánosítások elsőrendű logikára.

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

    A tárgyhoz csak előadások tartoznak.

    10. Követelmények

    1. A szorgalmi időszakban: egy összegző értékelés zárthelyi dolgozat formájában. Az aláírás megszerzésének (és egyeben a vizsgára bocsátásnak) a feltétele a dolgozat legalább elégséges szintű teljesítése.

    2. A vizsgaidőszakban: írásbeli teljesítményértékelésből és a félévközi zárthelyi dolgozat eredményének beszámításából álló kombinált vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyi dolgozat eredménye és felerészben a vizsgadolgozat eredménye alapján történik.

    11. Pótlási lehetőségek  A zárthelyi a TVSZ szerint egyszer pótolható.
    12. Konzultációs lehetőségek Szükség esetén a számonkérések előtt a hallgatókkal egyeztetve.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

    [1]  V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

    [2]  Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

    [3]  Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

    [4]  Ferenczi Miklós: Matematikai logika, Műszaki kiadó, 2002.

    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra

    56

    Félévközi készülés órákra

    10

    Felkészülés zárthelyire

    14

    Házi feladat elkészítése

    -

    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása

    -

    Vizsgafelkészülés

    40

    Összesen

    120

    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta TTK Algebra Tanszék