Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással
    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra

    A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Electrical Engineers - Linear Algebra

    Adatlap utolsó módosítása: 2014. szeptember 28.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar

    Villamosmérnöki szak, MSc képzés         

    Közös tantárgy         

    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90MX54 1 2/1/0/f 3  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Rónyai Lajos,
    4. A tantárgy előadója
    Név: Beosztás: Tanszék, Intézet:
    Dr. Rónyai Lajos egyetemi tanár TTK Algebra Tanszék
    Dr. Wettl Ferenc egyetemi docens TTK Algebra Tanszék
    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít BSc matematika
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX30" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90MX30", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE90MX78" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90MX78", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

    Ajánlott:
    -
    7. A tantárgy célkitűzése A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket, a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit, legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit.
    8. A tantárgy részletes tematikája  

    A lineáris algebra tanult alapfogalmainak áttekintése. Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley-Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.

    A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai. Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore-Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása. Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.

    Normák és mátrixfüggvények . A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

    Nem negatív elemű mátrixok. Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius-König-tétel.

    Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD). Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart-Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

    Lineáris mátrixegyenlőtlenségek. Konvex halmazok, konvex függvények, konvex optimalizálás, konvex programok, dualitás, a Karush-Kuhn-Tucker-tétel. Az ellipszoid algoritmus. Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk az ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

    Nevezetes alkalmazások. A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) A tárgyhoz előadások és gyakorlatok tartoznak.
    10. Követelmények A szorgalmi időszakban két zárthelyi sikeres megírása. A félévközi jegy a
    zárthelyikre és a házi feladatokra kapott pontszámok összege alapján adódik.
    A házi feladatokra kapható pontszám az összpontszám 20%-a.
    Az elégtelennél jobb félévközi jegy megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra, továbbá a zárthelyikkel és a házi feladattal együttesen elérhető összpontszám legalább 40%-ának teljesítése.
    11. Pótlási lehetőségek
    • mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer,
    • egy pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszak végén, és egy pót-pótzárthelyit a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).
    • aki mindkét ZH-t jól megírta, de az összpontszáma még sem éri el a 40%-ot, egyik ZH-ját újra írhatja.
    12. Konzultációs lehetőségek Szükség esetén a számonkérések előtt a hallgatókkal egyeztetve.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

    [1]  V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

    [2]  Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

    [3]  Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

    [4]  Wettl Ferenc: Lineáris algebra, online jegyzet.

    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra

    42

    Félévközi készülés órákra

    28

    Felkészülés zárthelyire

    20

    Házi feladat elkészítése

    -

    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása

    -

    Vizsgafelkészülés

    -

    Összesen

    90

    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta TTK Algebra Tanszék