Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A tantárgy a villamosmérnöki MSc képzésben felmerülő analízis jellegű matematikai ismeretek széles körét mutatja be, alapvetően feladat- és alkalmazás-centrikus tárgyalásban. A következő témákat dolgozzuk fel: numerikus optimalizálás (elmélet és algoritmusok), a félsíkon analitikus korlátos függvények struktúrája (Hardy-terek), a waveletek elméletének alapfogalmai, integrálható disztribúciók sokaságok érintőterén, fixponttételek, varációszámítás alapjai, Pontrjagin maximumelv.

A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:

• értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
• a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit.

Numerikus optimalizálás: Numerikus gyökkeresés nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek esetén (intervallumfelezési eljárás, szelőmódszer, egyszerű iteráció, Newton-módszer és változatai, csak megemlítve). Minimalizálás egy- és többdimenzióban (gradiens-alapú módszerek, Newton-módszerek, Gauss-Newton módszer). A SVD szerepe az optimalizálásban (legkisebb négyzetek módszere, általánosított inverz, összehasonlítás a QR felbontáson alapuló megoldással).

Hardy terek: Hardy-terek a jobb és bal félsíkon, norma. Nemtangenciális limesz a számegyenesen. A függvény visszaállítása a határfüggvényből Poisson- és Cauchy-integrállal. A H^2 Hardy-tér jellemzése Fourier-transzformációval (Paley-Wiener tétel). Projekció H^2-re, Toeplitz operátor, Hankel operátor. Nehari tétele a Hankel-operátor normájáról.

Waveletek: Fourier-transzformált és inverze. Ablak Fourier-transzformáció. Alkalmazás az időbeli frekvencia lokalizációjára. Rekonstruálási formula. Jelfeldolgozás az idő-frekvencia tartományban. Folytonos wavelet-transzformációk: waveletek transzformálásának célja és definíciója. Rekonstruálási formulák. Frekvencia lokalizációja. Diszkrét idő-frekvencia analizálása és mintavételezése. Shannon-féle mintavételi tétel. Mintavételezés az idő-frekvencia tartományon.

Differenciálgeometria: Vektormezők fogalma, Lie-derivált, vektormezők Lie-algebrája. k-dimenziós részsokaság (submanifold), érintő tér (tangent space), k-dimenziós disztribúció, teljesen integrálható disztribúció, involutív disztribúció. Frobenius-tétel: Egy disztribúció teljesen integrálható akkor és csakis akkor, ha involutív.

Fixponttételek, maximumelv: Banach fixponttétele, Brouwer- és Schauder-fixponttétel. Euler-Lagrange egyenletek (többváltozós függvényekre is). Pontrjagin-féle maximumelv, alkalmazási példák. Diszkrét vezérlési feladatok, Bellman-egyenletek. Tyihonov-funkcionál.

Az elméleti fogalmak és a főbb állítások ismertetése után a kapcsolódó feladatok megoldásának begyakoroltatása történik.

• mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer,
• egy pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszak végén, és egy pót-pótzárthelyit a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).
• aki mindkét ZH-t jól megírta, de az összpontszáma még sem éri el a 40%-ot, egyik ZH-ját újra írhatja.

1. A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer N.Y. 2000.
2. W. L. Winston: Operációkutatás: Módszerek és alkalmazások I-II, Aula Könyvkiadó, Budapest 2003.
3. J. B. Garnett: Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1981
4. G. Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, Basel 1994.
5. Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest 2002.
6. Járai Antal: Modern alkalmazott analízis, Typotex, Budapest 2007.
7. E. Zeidler: Nonlinear functional analysis and its applications , Vol 1 and Vol 3 , Springer  (1986).
8. Pontrjagin, Boltyanszkij, Gamkrelidze, Miscsenko: Optimális folyamatok elmélete, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1968.
9. V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.
10. Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.