Felsőbb matematika informatikusoknak B

A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Informaticians B

Adatlap utolsó módosítása: 2008. december 17.

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Mérnök informatikus szak
MSc képzés

Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
TE90MX41 1 4/0/0/v 4 1/1
3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Horváth Miklós Tibor,
4. A tantárgy előadója
Név:Beosztás:Tanszék, Intézet:
Dr. Horváth Miklósegyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Járai Antal egyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Rónyai Lajosegyetemi tanárAlgebra Tanszék
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Lineáris algebra

 

6. Előtanulmányi rend
Kötelező:
NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX56" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX56", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

Ajánlott:
---
7. A tantárgy célkitűzése Analízis 2. A tantárgy a mérnök informatikus MSc képzésben felmerülő analízis jellegű matematikai ismeretek széles körét mutatja be, alapvetően feladat- és alkalmazás-centrikus tárgyalásban. A következő témákat dolgozzuk fel: parciális differenciálegyenletek (elmélet, alkalmazás és numerikus módszerek), variációszámítás, irányításelmélet, numerikus optimalizálás. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:
– értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
– a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit. Alkalmazott algebra. Az Algebra legintenzívebben alkalmazott területének a Lineáris algebrának és informatikai alkalmazásainak haladó tárgyalása. Ilyen alkalmazások például: a kódelméleti és kriptográfiai alkalmazások, a sztochasztikus mátrixok vizsgálata, valamint az SVD alkalmazása az információkeresési gyakorlatban. A Matematikai Logika és az Algebra szoros kapcsolatának bemutatása az állításlogika és a Boole algebrák kapcsolatának elemzésén keresztül. Tárgyaljuk ezen kapcsolat általánosítási lehetőségeit, valamint alkalmazását is.

A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:
– értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
– a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
– legyen képes a szakirodalomra támaszkodva bővíteni az idevágó ismereteit.

8. A tantárgy részletes tematikája Analízis 2. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási óra). 1. Parciális differenciálegyenletek elmélete, alkalmazásai és numerikus módszerei (10 óra). Laplace-egyenlet, hővezetési egyenlet, hullámegyenlet, Maxwell-egyenletek elmélete és a megoldásukra szolgáló numerikus módszerek. Fourier módszer speciális alakú tartományokon.

2. Variációszámítás, irányításelmélet (10 óra). A variációszámítás alapfeladatai és alkalmazásaik, az Euler-Lagrange-egyenlet. Lineáris rendszerek elérhetősége és vezérelhetősége. Lineáris-kvadratikus irányítás. Időoptimális irányítás. Pontrjagin-elv, a Hamilton-Jacobi-Bellmann-egyenlet.

3. Numerikus optimalizálás (8 óra). Gyökkeresés és optimalizálás: Numerikus gyökkeresés nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek esetén (intervallumfelezési eljárás, szelőmódszer, egyszerű iteráció, Newton-módszer és változatai, csak megemlítve). Minimalizálás egy- és többdimenzióban (gradiens-alapú módszerek, konjugált irányok módszerei, Newton-módszerek, Simulated Annealing).

Alkalmazott algebra. (7 tényleges oktatási hét:  28 előadási óra).

1. A lineáris algebra tanult fogalmainak áttekintése (4 óra). Vektorterek, alterek, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések, képtér, magtér, dimenzió tétel, műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mint formális objektumok. Lineáris leképezések és műveleteik reprezentátálása mátrixokkal. Báziscsere. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Diagonizálás, spektrál felbontás. Mátrix hatványa.

Lineáris egyenletrendszerek disszkussziója. Megoldás Gauss eliminációval. Determináns fogalma.

2. Lineáris operátorok véges dimenziós euklideszi terekben, normálformák (4 óra). Euklideszi tér fogalma. Szimmetrikus, önadjungált, unitér, normális, projektor operátorok és mátrixaik. Jordan normálforma.

3. Nemnegatív elemű mátrixok (6 óra). Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius–König-tétel.

4. Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (6 óra). Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart–Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

5. A lineáris algebra további alkalmazásairól (6 óra). A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) A tárgy anyaga előadásokon kerül ismertetésre.

 

10. Követelmények

a.              A szorgalmi időszakban: két zárthelyi

b.             A vizsgaidőszakban: a két tárgyblokkból közös vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik

Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

11. Pótlási lehetőségek

-         mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer

-         két pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszakban, de minden hallgató legfeljebb az egyiken vehet részt (akinek két sikertelen zh-ja van, nem kaphat aláírást)

-         egy további pót-pótzárthelyit tartunk a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

12. Konzultációs lehetőségek Vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetve.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

[1]       Gyurkovics É.: http://www.math.bme.hu/~gye/OktAny.htm

[2]       Gyurkovics É.: Irányításelmélet, BME jegyzet, Tankönyvkiadó, 1991.

[3]       Járai A.: Modern alkalmazott analízis,  Typotex, Budapest, 2008.

[4]       A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer N.Y. 2000.

[5]       Tóth J., Simon L. P.: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és alkalmazásokba, Typotex, Budapest, 2006.

[6]       Stoyan Gisbert, Takó Galina, Numerikus módszerek III, Typotex, Budapest, 1997. 

[7]         V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[8]       Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

[9]       Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
Kontakt óra56
Félévközi készülés órákra10
Felkészülés zárthelyire28
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés26
Összesen120
15. A tantárgy tematikáját kidolgozta
Név:Beosztás:Tanszék, Intézet:
Dr. Járai Antal egyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Rónyai Lajosegyetemi tanárAlgebra Tanszék