Felsőbb matematika informatikusoknak A

A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Informaticians A

Adatlap utolsó módosítása: 2008. december 17.

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Mérnök informatikus szak
MSc képzés

Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
TE90MX40 1 4/0/0/v 4 1/1
3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Tóth Bálint,
4. A tantárgy előadója
Név:Beosztás:Tanszék, Intézet:
Dr. Horváth Miklósegyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Járai Antalegyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Tóth Bálintegyetemi tanárSztochasztika Tanszék
Dr. Szabados Tamásegyetemi docensSztochasztika Tanszék
Dr. Székely Balázsegyetemi adjunktusSztochasztika Tanszék
Dr. Vetier Andrásegyetemi docensSztochasztika Tanszék
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít

Egyváltozós kalkulus, sztochasztika elemei

6. Előtanulmányi rend
Kötelező:
NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX56" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX56", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

Ajánlott:
---
7. A tantárgy célkitűzése Analízis 1. A tantárgy a mérnök informatikus MSc képzésben felmerülő analízis jellegű matematikai ismeretek széles körét mutatja be, alapvetően feladat- és alkalmazás-centrikus tárgyalásban. A következő témákat dolgozzuk fel: Laplace transzformáció és alkalmazásai, általánosított függvények (Fourier-transzformáció és alkalmazásai), waveletek. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:
– értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
– a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit.

Sztochasztika 2. A valószínűségszámítás és sztochasztikus folyamatok elmélete néhány haladóbb témakörének bemutatása a mérnök informatikus mesterképzésben résztvevő hallgatóknak. A hangsúlyokat a jelenségek megértetésére és az alkalmazásokra helyezzük. Széles körben (a tantárgy témakörén kívül is) alkalmazható technikákat prezentálunk, rávilágítunk más matematikai és matematikán kívüli természettudományos és műszaki területekkel való összefüggésekre. Alapelv: minden egyes témához sok konkrét példát, számolást, konkrét alkalmazást mutatunk be. Bizonyításokat többnyire csak vázlatosan prezentálunk, viszont hangsúlyt helyezünk a szemléletre és a (matematikai és egyéb) jelenségekre.

8. A tantárgy részletes tematikája Analízis 1. (7 tényleges oktatási hét: 26 előadási óra). 1. A Laplace-transzformáció és alkalmazásai (10 óra). A transzformált értelmezési tartománya, alaptulajdonságai, elemi függvények transzformáltjai, deriválás, integrálás, konvolúció. Unicitás, inverz Laplace-transzformáció, numerikus inverzió. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transyformációval. Kezdeti és végérték-tétel, egységugrás, fűrészfog és négyszögjel transzformáltja. Áramkörök. A z-transzformált.

2. Általánosított függvények; Fourier-transzformáció és alkalmazásai (10 óra). A disztribúcióelmélet elemei, Dirac-delta, Heaviside-függvény. Disztribúciók Laplace- és Fourier-transzformáltja. Fourier-transzformált az L2-térben, harmonikus oszcillátor. A Fourier-transzformált kapcsolata a Laplace-transzformálttal.

3. Waveletek (8 óra). A harmonikus rezgés elemei (amplitúdó, frekvencia). Véges és végtelen összegre való felbontás. Jelek analízise és szintézisek problémái a Fourier-sor, transzformáció segítségével. Wavelet-sor, wavelet-transzformáció bevezetése. A wavelet-analízis feladata.

Ablak Fourier-transzformációk. Alkalmazás az időbeli és frekvencia lokalizációjára. Diszkrét és gyors Fourier-transzformáció. Folytonos wavelet-transzformációk: Waveletek transzformálásának célja és definíciója.. Rekonstruálási formulák. Frekvencia lokalizációja.Diszkrét idő-frekvencia analizálása és mintavételezése: Shannon-féle mintavételi tétel. Mintavételezés az idő-frekvencia tartományon. Az ortogonalizálás problémája.

Fizikai waveletek: Jelek és hullámok. Elektromágneses waveletek szóródása. Az elektromagnetikai hullámok atomos összeállítása. Alkalmazás radarra.

Sztochasztika 2. (7 tényleges oktatási hét:  28 előadási óra).

1. Valószínűségszámítási alapok ismétlése. (4 óra). Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Várható érték, szórásnégyzet, magasabb momentumok. Nevezetes eloszlások. Együttesen értelmezett valószínűségi változók, együttes eloszlás- és sűrűségfüggvény. Várható érték vektor, kovariancia mátrix, alaptulajdonságai, Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség. Nevezetes többdimenziós eloszlások. Sűrűségfüggvények transzformációja leképezésekkel. Többdimenziós normális eloszlás.

2. Konvergencia típusok (4 óra). Sztochasztikus konvergencia fogalma és a nagy számok gyenge törvénye. L^p-beli konvergencia. Majdnem biztos konvergencia, Borel-Cantelli lemmák és a nagy számok erős törvénye. Valószínűségi eloszlások gyenge konvergenciája és határeloszlás-tételek.

3. Generátor- és karakterisztikus függvények. Alkalmazásaik: határeloszlások és nagy eltérések (8 óra). Generátor függvény, alaptulajdonságai. Konvolúció és keverék-eloszlások generátor-függvénye. Alkalmazások: elágazó folyamatok, bolyongások. Karakterisztikus függvény, alaptulajdonságai. Fourier-analízis elemei, inverzió, momentum-probléma. Folytonossági tétel, következménye: határeloszlás-tételek. Nagy számok törvényei és centrális határeloszlás tétel karakterisztikus függvény módszerével. Stabilitás, stabilis eloszlások, gyenge konvergencia stabilishoz. Nagy eltérések elemei: Bernstein-egyenlőtlenség, Chernoff-korlát, Kramer-tétel.

4. Sztochasztikus folyamatok elemei: Markov-láncok és Markov-folyamatok (8 óra ea). Mi is egy sztochasztikus folyamat? Véges állapotterű Markov-láncok, állapotok osztályozása, irreducibilitás, periódus, aperiodicitás. Lineáris algebrai eszköztár: sztochasztikus mátrixok, hatás előre (függvényekre), hatás hátra (mértékekre). Stacionárius mérték, hosszú idejű viselkedés, ergodicitás. Reverzibilis Markov-láncok, MCMC elemei. Megszámlálható állapotterű Markov-láncok: tranziencia, null-rekurrencia, pozitív rekurrencia jellemzése. Alkalmazás születési-halálozási folyamatokra, bolyongásokra (Pólya-tétel). Folytonos idejű Markov-láncok elemei: Poisson folyamat, ugrási ráták, szemléletes jellemzés. Sztochasztikus mátrixok egy-paraméteres félcsoportja: Kolmogorov-Chapman egyenletek, infinitezimális generátor, kapcsolat mátrix-analízissel.

5. Kitekintés: válogatás a modern valószínűségszámítás problémaköreiből. (4 óra ea). Perkoláció: az alapprobléma, kapcsolat véletlen gráfokkal, alaptételek, fázisátmenet. “Kártyakeverés matematikája”: Markov-láncok konvergenciájának kérdésköre, hányszor keverjük meg a kártyacsomagot, hogy (közel) egyenletes eloszlású véletlen sorrendet kapjunk?

 

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

A tárgy anyaga előadásokon kerül ismertetésre.

10. Követelmények

a.              A szorgalmi időszakban: két zárthelyi

b.             A vizsgaidőszakban: a két tárgyblokkból közös vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik

Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

11. Pótlási lehetőségek -         mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer -         két pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszakban, de minden hallgató legfeljebb az egyiken vehet részt (akinek két sikertelen zh-ja van, nem kaphat aláírást)

-         egy további pót-pótzárthelyit tartunk a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

12. Konzultációs lehetőségek Vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetve.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom [1]       Davies, B.: Integráltranszformációk és alkalmazásaik, Műszaki Könyvkiadó, Bp, 1983. [2]       Hartung F.: http://www.szt.vein.hu/~hartung/okt/ma6116a/

[3]       Járai A.: Modern alkalmazott analízis,  Typotex, Budapest, 2008.

[4]       Kaiser, G.: A Friendly Guide to Wavelets, Brikhauser, Boston, Basel, Berlin, 1994.

[5]       Szili L.: http://numanal.inf.elte.hu/~szili/Okt_anyag/Funkanal_honlapra.pdf

[6]       Rényi: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, 1972.

[7]       Prékopa: Valószínűségszámítás műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó Budapest.

[8]       Durrett: Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1995.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
Kontakt óra56
Félévközi készülés órákra10
Felkészülés zárthelyire28
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés26
Összesen120
15. A tantárgy tematikáját kidolgozta
Név:Beosztás:Tanszék, Int.:
Dr. Horváth Miklósegyetemi tanárAnalízis Tanszék
Dr. Tóth Bálintegyetemi tanárSztochasztika Tanszék