BME VIK - Felsőbb matematika villamosmérnököknek C

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Horváth Miklós Tibor,

4. A tantárgy előadója

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Horváth Miklós	egyetemi tanár	Analízis Tanszék
Dr. Járai Antal	egyetemi tanár	Analízis Tanszék
Dr. Rónyai Lajos	egyetemi tanár	Algebra Tanszék

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít

Lineáris algebra alapjai és kalkulus

6. Előtanulmányi rend

Kötelező:

NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX53" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX53", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Ajánlott:
---

7. A tantárgy célkitűzése Haladó lineáris algebra. A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy
– értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket,
– a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
– legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit. Analízis. A tantárgy a villamosmérnöki MSc képzésben felmerülő analízis jellegű matematikai ismeretek széles körét mutatja be, alapvetően feladat- és alkalmazás-centrikus tárgyalásban. A következő témákat dolgozzuk fel: numerikus optimalizálás (elmélet és algoritmusok), a félsíkon analitikus korlátos függvények struktúrája (Hardy-terek), a waveletek elméletének alapfogalmai, integrálható disztribúciók sokaságok érintőterén, fixponttételek, varációszámítás alapjai, Pontrjagin maximumelv.

A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:
– értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
– a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit.

8. A tantárgy részletes tematikája

Haladó lineáris algebra. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. A lineáris algebra tanult alapfogalmainak áttekintése (1 hét). Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley--Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.

2. A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai (1 hét). Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore–Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása. Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.

3. Normák és mátrixfüggvények (1 hét) . A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása, lineáris differenciál-egyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

4. Nem negatív elemű mátrixok (1 hét). Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius–König-tétel.

5. Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (1 hét). Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart–Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

6. Lineáris mátrixegyenlőtlenségek (1 hét). Konvex halmazok, konvex függvények, konvex optimalizálás, konvex programok, dualitás, a Karush–Kuhn–Tucker-tétel. Az ellipszoid algoritmus. Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk az ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

7. Nevezetes alkalmazások (1 hét). A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

Analízis. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. Numerikus optimalizálás (4 óra elmélet/előadás + 2 óra gyakorlat ) Numerikus gyökkeresés nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek esetén (intervallumfelezési eljárás, szelőmódszer, egyszerű iteráció, Newton-módszer és változatai, csak megemlítve). Minimalizálás egy- és többdimenzióban (gradiens-alapú módszerek, Newton-módszerek, Gauss-Newton módszer). A SVD szerepe az optimalizálásban (legkisebb négyzetek módszere, általánosított inverz, összehasonlítás a QR felbontáson alapuló megoldással).

2. Hardy terek (4 óra elmélet/előadás + 2 óra gyakorlat ) Hardy-terek a jobb és bal félsíkon, norma. Nemtangenciális limesz a számegyenesen. A függvény visszaállítása a határfüggvényből Poisson- és Cauchy-integrállal. A H^2 Hardy-tér jellemzése Fourier-transzformációval (Paley-Wiener tétel). Projekció H^2-re, Toeplitz operátor, Hankel operátor. Nehari tétele a Hankel-operátor normájáról.

3. Waveletek (4 óra elmélet/előadás + 2 óra gyakorlat ) Fourier-transzformált és inverze. Ablak Fourier-transzformáció. Alkalmazás az időbeli frekvencia lokalizációjára. Rekonstruálási formula. Jelfeldolgozás az idő-frekvencia tartományban. Folytonos wavelet-transzformációk: waveletek transzformálásának célja és definíciója. Rekonstruálási formulák. Frekvencia lokalizációja. Diszkrét idő-frekvencia analizálása és mintavételezése. Shannon-féle mintavételi tétel. Mintavételezés az idő-frekvencia tartományon. 4. Differenciálgeometria (8 óra elmélet/előadás + 4 óra gyakorlat ) Vektormezők fogalma, Lie-derivált, vektormezők Lie-algebrája. k-dimenziós részsokaság (submanifold), érintő tér (tangent space), k-dimenziós disztribúció, teljesen integrálható disztribúció, involutív disztribúció. Frobenius-tétel: Egy disztribúció teljesen integrálható akkor és csakis akkor, ha involutív.

5. Fixponttételek, maximumelv (8 óra elmélet/előadás + 4 óra gyakorlat ) Banach fixponttétele, Brouwer- és Schauder-fixponttétel. Euler-Lagrange egyenletek (többváltozós függvényekre is). Pontrjagin-féle maximumelv, alkalmazási példák. Diszkrét vezérlési feladatok, Bellman-egyenletek. Tyihonov-funkcionál.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

A tárgy anyaga előadásokon és gyakorlatokon kerül ismertetésre.

10. Követelmények

a. A szorgalmi időszakban: két zárthelyi

b. A vizsgaidőszakban: a két tárgyblokkból közös vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik

Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

11. Pótlási lehetőségek

- mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer

- két pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszakban, de minden hallgató legfeljebb az egyiken vehet részt (akinek két sikertelen zh-ja van, nem kaphat aláírást)

- egy további pót-pótzárthelyit tartunk a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

12. Konzultációs lehetőségek

Vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetve.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom [1] A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, Springer N.Y. 2000. [2] W. L. Winston: Operációkutatás: Módszerek és alkalmazások I-II, Aula Könyvkiadó, Budapest 2003.

[3] J. B. Garnett: Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1981

[4] G. Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, Basel 1994.

[5] Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest 2002.

[6] Járai Antal: Modern alkalmazott analízis, Typotex, Budapest 2007.

[7] E. Zeidler: Nonlinear functional analysis and its applications , Vol 1 and Vol 3 , Springer (1986).

[8] Pontrjagin, Boltyanszkij, Gamkrelidze, Miscsenko: Optimális folyamatok elmélete, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1968. [9] V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[10] Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

Kontakt óra	84
Félévközi készülés órákra	30
Felkészülés zárthelyire	30
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés	36
Összesen	180

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajos	egyetemi tanár	Algebra Tanszék
Dr. Horváth Miklós	egyetemi tanár	Analízis Tanszék