Felsőbb matematika villamosmérnököknek A

A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Electrical Engineers A

Adatlap utolsó módosítása: 2010. február 4.

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Villamosmérnöki szak
MSc képzés

Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
TE90MX30 1 4/2/0/v 6 1/1
3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Rónyai Lajos,
4. A tantárgy előadója
Név:Beosztás:Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajosegyetemi tanárAlgebra Tanszék
Dr. Szabados Tamásegyetemi docensSztochasztika Tanszék
Dr. Székely Balázs egyetemi adjunktusSztochasztika Tanszék
Dr. Tóth Bálintegyetemi tanárSztochasztika Tanszék
Dr. Vetier Andrásegyetemi docensSztochasztika Tanszék
5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít

Lineáris algebra és valószínűségszámítás alapjai

6. Előtanulmányi rend
Kötelező:
NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX54" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX54", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0
VAGY
TárgyEredmény( "BMETE90MX55" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX55", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

Ajánlott:
---
7. A tantárgy célkitűzése Haladó lineáris algebra. A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy
– értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket,
– a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
– legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit.

Sztochasztika. A valószínűségszámítás és sztochasztikus folyamatok elmélete néhány haladóbb témakörének bemutatása a villamosmérnöki mesterképzésben résztvevő hallgatóknak. A hangsúlyokat a jelenségek megértetésére és az alkalmazásokra helyezzük. Széles körben (a tantárgy témakörén kívül is) alkalmazható technikákat prezentálunk, rávilágítunk más matematikai és matematikán kívüli természettudományos és műszaki területekkel való összefüggésekre. Alapelv: minden egyes témához sok konkrét példát, számolást, konkrét alkalmazást mutatunk be. Bizonyításokat többnyire csak vázlatosan prezentálunk, viszont hangsúlyt helyezünk a szemléletre és a (matematikai és egyéb) jelenségekre.

8. A tantárgy részletes tematikája

Haladó lineáris algebra. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. A lineáris algebra tanult alapfogalmainak áttekintése (1 hét). Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley--Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.

2. A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai (1 hét). Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore–Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása. Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.

3. Normák és mátrixfüggvények (1 hét) . A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása, lineáris differenciál-egyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

4. Nem negatív elemű mátrixok (1 hét). Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius–König-tétel.

5. Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (1 hét). Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart–Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

6. Lineáris mátrixegyenlőtlenségek (1 hét). Konvex halmazok, konvex függvények, konvex optimalizálás, konvex programok, dualitás, a Karush–Kuhn–Tucker-tétel. Az ellipszoid algoritmus. Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk az ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

7. Nevezetes alkalmazások (1 hét). A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

Sztochasztika. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. Valószínűségszámítási alapok ismétlése, eloszlások “függvénytana” (4 óra ea, 2 óra gyak) Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Várható érték, szórásnégyzet, magasabb momentumok. Nevezetes eloszlások. Együttesen értelmezett valószínűségi változók, együttes eloszlás- és sűrűségfüggvény. Várható érték vektor, kovariancia mátrix, alaptulajdonságai, Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség. Nevezetes többdimenziós eloszlások. Sűrűségfüggvények transzformációja leképezésekkel. Többdimenziós normális eloszlás.

2. Generátor- és momentumgeneráló függvények. Határeloszlások és nagy eltérések (8 óra ea, 4 óra gyak.) Generátorfüggvény, alaptulajdonságai. Konvolúció és keverék-eloszlások generátorfüggvénye. Alkalmazások, elágazó folyamatok. Momentumgeneráló függvény, tulajdonságok. Centrális határeloszlás tétel. Nagy eltérések elemei: Bernstein- egyenlőtlenség, Chernoff-korlát, Höeffding-egyenlőtlenség, Kramer-tétel. Alkalmazások sorbanállási problémákra és kapacitás méretezésre.

3. Sztochasztikus folyamatok elemei: Markov-láncok és Markov-folyamatok (8 óra ea, 4 óra gyak.). Mi is egy sztochasztikus folyamat? Véges állapotterű Markov-láncok, állapotok osztályozása, irreducibilitás, periódus, aperiodicitás. Stacionárius mérték, hosszú idejű viselkedés, ergodicitás. Megszámlálható állapotterű Markov-láncok. Alkalmazás születési-halálozási folyamatokra és sorbanállási problémákra. Folytonos idejű Markov-láncok elemei: Poisson folyamat, ugrási ráták, szemléletes jellemzés. Kolmogorov-Chapman egyenletek, infinitezimális generátor. Sorbanállási alkalmazások.

4. A matematikai statisztika elemei (4 óra ea, 2 óra gyak.). Mintavétel, becslések, hipotézisek, statisztikai próbák: u-próba, t-próba, F-próba, khi-négyzet-próba. Maximum likelihood becslés. Lineáris és nemlineáris regresszió.

5. Gyengén stacionárius folyamatok: spektrál-felbontás, spektrál-elmélet elemei (4 óra ea, 2 óra gyak.). Gyengén stacionárius folyamatok Z-n, R-en, jellemzésük a kovariancia-függvénnyel, realizációjuk Gauss-folyamatként. Trigonometrikus folyamatok, autoregresszív és mozgó átlag folyamatok. Stacionárius folyamat spektrális felbontása. Példák. Szűrés, példák szűrőkre.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

A tárgy anyaga előadásokon és gyakorlatokon kerül ismertetésre.

10. Követelmények

a.              A szorgalmi időszakban: két zárthelyi

b.             A vizsgaidőszakban: a két tárgyblokkból közös vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik

Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

11. Pótlási lehetőségek

-         mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer

-         két pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszakban, de minden hallgató legfeljebb az egyiken vehet részt (akinek két sikertelen zh-ja van, nem kaphat aláírást)

-         egy további pót-pótzárthelyit tartunk a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

12. Konzultációs lehetőségek

Vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetve.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

[1]       Prékopa András: Valószínűségszámítás műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó Budapest.

[2]       Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó Budapest, 1972.

[3]       Richard Durrett: Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1995.

[4]       V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[5]       Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
Kontakt óra84
Félévközi készülés órákra30
Felkészülés zárthelyire30
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés36
Összesen180
15. A tantárgy tematikáját kidolgozta
Név:Beosztás:Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajosegyetemi tanárAlgebra Tanszék
Dr. Tóth Bálint egyetemi tanárSztochasztika Tanszék