BME VIK - Matematika A2 villamosmérnököknek

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Pitrik József,

A tantárgy tanszéki weboldala www.math.bme.hu/~pitrik

4. A tantárgy előadója

Dr. Pitrik József

Dr. Molnár Zoltán

Dr. Farkas Lóránt

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Vektoralgebra, egyváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása.

6. Előtanulmányi rend

Kötelező:

( (TárgyTeljesítve_Képzésen("BMETE90AX00") VAGY
TárgyTeljesítve("BMETEMIBsVMAT1-00") )

ÉS TárgyTeljesítve_Képzésen("BMEVISZAA07"))

VAGY
( (EgyenCsoportTagja("VILL - 2014 TANTERV") VAGY
EgyenCsoportTagja("2014_tanterv_hallgatoi_vill_eng") )
ÉS
(TárgyTeljesítve_Képzésen("BMETE90AX00") VAGY
TárgyTeljesítve("BMETEMIBsVMAT1-00")) )

VAGY

Kepzes("5N-A7H")

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Ajánlott:

Kötelező:

NEM (TárgyEredmény("BMETE92AM07", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF01", "jegy", _) >= 2)
ÉS
(TárgyEredmény("BMETE90AX00", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE90AX01", "jegy", _) >= 2
VAGY TárgyEredmény("BMETE901912", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE901913", "jegy", _) >= 2
VAGY TárgyEredmény("BMETE901827", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF00", "jegy", _) >= 2
VAGY kepzes("4N-M7"))
ÉS
(NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90AX26" , "jegy" , _ ) >= 2 )
VAGY NEM (TargyEredmeny("BMETE90AX26", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)
VAGY NEM Kepzes("5N%") )

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Ajánlott:
Matematika A1a (BMETE90AX00) VAGY Matematika A1b (BMETE90AX01)

7. A tantárgy célkitűzése A villamosmérnökök számára szükséges alapvető lineáris algebrai, sorfejtésekre vonatkozó és
többváltozós analízisbeli ismeretek elsajátítása.

8. A tantárgy részletes tematikája

LINEÁRIS ALGEBRA
Lineáris terek
Lineáris tér axiómái és geometriai jelentésük. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér,
generátorrendszer, bázis, dimenzió (ismétlés). Báziscsere, az áttérés mátrixa. Metrikus és normált tér.
Euklideszi terek. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorasz-
tétel.
Lineáris operátorok
Lineáris operátor definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés)
és mátrixuk, egyéb lineáris transzformációk (pl. deriválás) és mátrixuk. Magtér, képtér. Dimenziótétel.
Inverz. Báziscsere transzformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata.
Spektráltétel
Karakterisztikus polinom. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok (önadjungált, unitér stb.) sajátértékei
és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság. Főtengelytétel. Kvadratikus alakok osztályozása.
Mátrixfüggvények
Mátrixok függvényeinek értelmezése. Mátrixok exponenciális függvénye és meghatározásának
módszerei.
Improprius integrál és alkalmazásai
Az impromprius integrál. A határozott integrál matematikai és fizikai alkalmazásai. (terület, forgástest
térfogata, felszíne, integrálkritérium sorokra, súlypont, tehetetlenségi nyomték stb.) Példák.
VÉGTELEN SOROK
Numerikus sorok
Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Konvergenciakritériumok.
Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok szorzata. Sorok átrendezése, Riemann-tétel.
Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.
Függvénysorozatok, függvénysorok
Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az
egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a
sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.
Hatványsorok
Konvergenciaintervallum. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Hatványsor és Taylor-sorkapcsolata. Taylor
polinom, Lagrange maradéktag. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-
sorfejtés technikája. Binomiális sorok.
Fourier-sorok
Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan
függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.
Parseval-formula. Komplex Fourier-sorok.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
Alapfogalmak
Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia.
Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Többváltozós függvény
fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények határértéke és folytonossága.

Differenciálszámítás
Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai
szemléltetés. Magasabb rendű deriváltak, középértéktétel, Young-Schwarz tétel. Differenciál, függvény
lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a
parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése.
Többváltozós szélsőérték
Lokális és abszolút szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek.
Nyeregpont. Feltételes szélsőérték, Lagrange-féle multiplikátoros módszer.
Többváltozós függvények integrálása
Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál kiszámítása:
kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása (Fubini-tétel).
Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polár-, henger- és gömbi koordináták. Jacobi-
determináns. Alkalmazások: alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása
nem egyenletes anyagsűrűség esetén. Tömegközéppont.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) 4 előadás + 2 gyakorlat

10. Követelmények

Szorgalmi időszakban: 2 darab 90 perces 60 zárthelyi dolgozat.Az aláírás feltétele, hogy mindkét zárthelyi dolgozaton legalább 40%-os eredményt érjen el a hallgató.

Vizsgaidőszakban:írásbeli vizsga.

Csak aláírást szerzett hallgató jelentkezhet vizsgára.

11. Pótlási lehetőségek Egy zárthelyi dolgozat egy alkalommal a szorgalmi időszakban, illetve egy ismételt alkalommal a vizsgaidőszakban pótolható.

12. Konzultációs lehetőségek Előre meghirdetett időpontokban.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

Thomas-féle kalkulus (TypoTeX, 2006)
Anton Busby: Contemporary Linear Algebra (Wiley, 2003)

Wettl Ferenc, Lineáris Algebra, (TypoTex)

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

Kontakt óra	84
Félévközi készülés órákra	26
Felkészülés zárthelyire	50
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés	50
Összesen	210

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Pitrik József