Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Matematika A4 - Valószínűségszámítás

    A tantárgy angol neve: Mathematics A4 - Probability Theory

    Adatlap utolsó módosítása: 2017. június 15.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar

    Villamosmérnöki szak, BSc képzés       

    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90AX51 3 2/2/0/v 4  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Vetier András Ernő,
    A tantárgy tanszéki weboldala http://www.math.bme.hu/~vetier/
    4. A tantárgy előadója Dr. Vetier András
    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Az egy- és többváltozós függvények analízise, sorfejtések, lineáris algebra.
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    (TárgyEredmény( "BMETE90AX26" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE90AX02" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE90AX03" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE901918" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE93AF01" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE93BG02" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE94BG02" , "jegy" , _ ) >= 2)
    ÉS NEM (TargyEredmeny("BMETE90AX08", "jegy", _) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90AX08", "felvétel", AktualisFelev()) > 0)

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

    Ajánlott:
    -
    7. A tantárgy célkitűzése A tantárgy elsődleges célja a hallgatók bevezetése a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba. Emellett, mint minden matematikai tárgynak, feladata a matematikának, mint a logikus és rugalmas, lényegmeglátó és problémamegoldó gondolkodási módnak a fejlesztése a hallgatókban.
    A matematika ismeretéről csak annyiban beszélhetünk, amennyiben azzal a hallgatók problémákat tudnak megoldani, számítógéppel és a nélkül.
    A matematika több ezer éves fejlődése során alakult ki a matematika tárgyalásának és oktatásának a módszere. A defínició-tétel-bizonyítás hármasa, a példákon és alkalmazásokon való szemléltetés, a megoldó algoritmusok bemutatása és elemzése a matematika oktatásában általánosan elterjedt. Az egyszerűbbtől az összetettebb felé, a konkrét struktúrától az absztraktabb felé haladás a matematika oktatásának általánosan elfogadott elvei. Ezen elvekből következik, hogy adott idő alatt adott képességű és felkészültségű hallgatók csak meghatározott mennyiségű és minőségű matematika befogadására képesek.
    A jelen konkrét tárgy célja, hogy a véletlen jelenségek matematikai leírásába, törvényszerűségeibe vezesse be a hallgatót. A matematika e területe egyrészt alkalmazza a korábban tanult matematikai tárgyak anyagának jelentős részét, segít azoknak az elmélyítésében, másrészt felkészít a szaktárgyakban és az alkalmazásokban előforduló igen nagyszámú, véletlennel kapcsolatos jelenségek modellezésére és a kapcsolódó számításokra. Ilyen alkalmazások például: mérések kiértékelése, sok felhasználós hálózatok, információ átvitele, zajos rendszerek, megbízhatósági analízis, közgazdasági folyamatok, statisztika.
    8. A tantárgy részletes tematikája

    1. A valószínűség fogalma.
    Tapasztalati háttér, relatív gyakoriság, nagy számok tapasztalati törvénye. Eseménytér, kimenetelek, események, eseményekkel kapcsolatos fogalmak, műveletek. A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle modellje, a valószínűség elemi tulajdonságai: (véges és megszámlálhatóan végtelen) additivitás, monotonitás, komplementer esemény valószínűsége, események összegének (uniójának) valószínűsége, szita-formula két és három eseményre.
    2. Feltételes valószínűség és események függetlensége.
    Feltételes valószínűség definíciója. Teljes valószínűség formulája, Bayes-tétel. Valószínűségek szorzási szabálya. Fagráfok alkalmazása. Események függetlensége kettő és több eseménynél.
    3. Diszkrét valószínűségi változó és eloszlása.
    Valószínűségi változó fogalma. Diszkrét eloszlások, valószínűségi súlyfüggvény. Nevezetes diszkrét eloszlásokra vezető modellek. Diszkrét egyenletes eloszlás. Klasszikus valószínűségi feladatok, kombinatorikus módszerek alkalmazása. Indikátor eloszlás. Binomiális eloszlás, visszatevéses mintavétel. Visszatevés nélküli mintavétel, hipergeometrikus eloszlás. A Poisson-eloszlás, mint a binomiális eloszlás határeloszlása. Diszkrét örökifjú véletlen várakozási idő modellje: geometriai eloszlás.
    4. Folytonos eloszlású valószínűségi változók.
    Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye és tulajdonságai. Eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Nevezetes folytonos eloszlásokra vezető modellek. Egyenletes eloszlás intervallumon. Folytonos örökifjú véletlen várakozási idő modellje: exponenciális eloszlás. Standard normális eloszlás.
    5. Eloszlások paraméterei.
    Várható érték. Medián. Módusz. Momentumok. Szórásnégyzet (variancia), szórás. Nevezetes diszkrét eloszlások (binomiális, Poisson, geometriai) várható értéke, szórásnégyzete, módusza. Nevezetes folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális, normális) várható értéke, szórásnégyzete, mediánja. Steiner-tétel: a várható érték minimum tulajdonsága. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség.
    6. Kétdimenziós eloszlások.
    Diszkrét és folytonos eset. Egyenletes eloszlás, geometriai problémák. Kétdimenziós sűrűségfüggvény. Valószínűségek kiszámítása sűrűségfüggvényből. Diszkrét eloszlások peremeloszlásai, folytonos eloszlások perem-sűrűségfüggvényei.
    7. Feltételes eloszlások, független valószínűségi változók.
    Diszkrét és folytonos eset. Feltételes sűrűségfüggvények. Teljes valószínűség formulája, Bayes-tétel diszkrét valószínűségi változók esetén. Két illetve kettőnél több valószínűségi változó függetlensége valószínűségekkel, sűrűségfüggvényekkel.
    8. Kétdimenziós eloszlások paraméterei.
    Kovariancia, korrelációs együttható. Független valószínűségi változók szorzatának várható értéke. Függetlenség és korrelálatlanság kapcsolata. Várható érték és szórásnégyzet tulajdonságai lineáris transzformációnál, összegzésnél. Független esetben a szórásnégyzetek összeadódnak.
    9. Regresszió.
    Feltételes várható érték. Regressziós görbe a legkisebb várható négyzetes hibával: feltételes várható érték. Lineáris regresszió, regressziós egyenes egyenlete, lineáris regresszió szórásnégyzete.
    10. Eloszlástranszformációk.
    Diszkrét eset. Eloszlásfüggvény transzformációja szigorúan monoton növő és fogyó esetben. Adott (tetszőleges) eloszlásfüggvényű véletlen számok generálása. Sűrűségfüggvény transzformációja egydimenziós esetben. Eloszlástranszformáció kétdimenzióból egydimenzióba. Transzformált eloszlás várható értéke. Független valószínűségi változók összege: konvolúció. Standardizálás.
    11. Egy- és kétdimenziós normális eloszlások.
    Egydimenziós normális eloszlások származtatása standard normális eloszlásból és jellemzésük várható értékkel és szórással. Valószínűségek kiszámítása a standard normális eloszlás táblázatából. Kétdimenziós normális eloszlások jellemzése a várható értékekkel, szórásokkal és a korrelációs együtthatóval. Szemléltetés pontfelhővel. Lineáris kombináció egydimenziós normális eloszlású.
    12. Határérték tételek.
    Független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozatai. Összeg, illetve átlag várható értéke, szórása. A Bernoulli-egyenlőtlenség, mint a Csebisev-egyenlőtlenség következménye. Nagy számok törvénye. Moivre-Laplace-tétel. Centrális határeloszlás tétel. Alkalmazás relatív gyakoriságokra egy esemény valószínűségének közelítésére. Küszöbindex (minta elemszám) keresése adott pontosság és hiba-valószínűség esetén.

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

    Heti 2 óra előadás, 2 óra gyakorlat.

    Az órák lebonyolítása: 

    A gyakorlatokon a gyakorlatvezetők megtanítják a tananyag legfontosabb elemeit, és azt ott gyakorolják, gyakoroltatják is. 

    Az előadásokon az előadó további feladatokat old meg, és a tananyag bizonyos kérdéseit részletezi, alaposabban kifejti, szimulációkkal szemlélteti

    10. Követelmények

    Hiányzás a gyakorlatokról: 

    A TVSZ szerint a félév során a gyakorlatok legalább 70 %-án részt kell venni. Ez 14 gyakorlat esetén max 4 hiányzást enged meg, 13 gyakorlat esetén max 3 -at.

    Zárthelyi: Heti rendszerességgel 3 pontos röpzh-k lesznek a gyakorlatokon és egy  20 pontos, 3 feladatból álló zárthelyi a 9-10. héten.

    Az aláírás megszerzésének feltételei: A 7 legjobb röpzh eredménye is eléri a 40%-ot (a maximális 21 pontból legalább 8 pontot), és a zárthelyi eredménye eléri a 40%-ot (a maximális 20 pontból legalább 8 pontot), és a hiányozások száma nem több a megengedettnél.

    A vizsga lebonyolítása:
    A vizsga írásbeli. A vizsgakérdések az évközi zh -k kérdéseinél összetettebbek, nehezebbek. A vizsga 60 pontos. 

    Osztályzat a vizsgánA legalább 2-es osztályzat megszerzéséhez szükséges, hogy a 60 pontos vizsga eredménye legalább 24 pont legyen. Ha ez a feltétel teljesül, akkor tekintjük a röpzh-k, a zárthelyi és vizsga eredményeinek összegét, amiből az osztályzat az alábbi táblázat alapján születik:

    40 %-tól 2, elégséges
    55 %-tól 3, közepes
    70%-tól  4,

    85 %-tól  5, jeles.

    11. Pótlási lehetőségek

    A zárthelyi a félév során az előírt pótlási időpontban pótolható.

     

    12. Konzultációs lehetőségek Számonkérés előtt szervezett konzultációk, továbbá egyéni konzultációk fogadóórákon.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom Vetier András: Valószínűségszámítás, egyetemi jegyzet (Tankönyvkiadó, 1985)
    Vetier András: Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet, egyetemi tankönyv (Tankönyvkiadó, 1991)
    Ferenczy Miklós: Valószínűségszámítás és alkalmazásai, példatár (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1998)
    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra

    56

    Félévközi készülés órákra

    14

    Felkészülés zárthelyire

    24

    Házi feladat elkészítése

    -

    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása

    -

    Vizsgafelkészülés

    26

    Összesen

    120

    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta

    Dr. Vetier András

    IMSc tematika és módszer

    Külön, legfeljebb 20 fős gyakorlatokat indítunk számukra, ahol több, kreatívabb gondolkodást igénylő, kissé nehezebb feladatot kapnak a hallgatók, és külön súlyt fektetünk az előadáson elhangzottak mélyebb megértésére.

    IMSc pontozás

    Az IMSC diákok számára kitűzünk  a zárthelyin és a vizsgán is egy-egy kissé nehezebb feladatot, melyekért 10-10, tehát összesen 20 extra pont érhető el. Ezeket az extra pontokat akkor vesszük figyelembe, ha a hallgató a "normál" pontokból eléri a jeles szintet, azaz a 100 pontból legalább 86-ot.