Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Matematika A2a - Vektorfüggvények

    A tantárgy angol neve: Mathematics A2a - Vector Functions

    Adatlap utolsó módosítása: 2008. május 7.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar
    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90AX02   4/2/0/v 6  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Serény György,
    A tantárgy tanszéki weboldala http://www.math.bme.hu/~sereny/A2-A3.html
    4. A tantárgy előadója Dr. Serény György
    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Vektoralgebra, egyváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása.
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    NEM (TárgyEredmény("BMETE92AM07", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF01", "jegy", _) >= 2)
    ÉS
    (TárgyEredmény("BMETE90AX00", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE90AX01", "jegy", _) >= 2
    VAGY TárgyEredmény("BMETE901912", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE901913", "jegy", _) >= 2
    VAGY TárgyEredmény("BMETE901827", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF00", "jegy", _) >= 2
    VAGY kepzes("4N-M7"))
    ÉS
    (NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90AX26" , "jegy" , _ ) >= 2 )
    VAGY
    NEM (TargyEredmeny("BMETE90AX26", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0) )

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

    Ajánlott:
    Matematika A1a (BMETE90AX00) VAGY Matematika A1b (BMETE90AX01)
    7. A tantárgy célkitűzése Kötelező alaptárgy a mérnök- és gazdasági képzésekben.
    8. A tantárgy részletes tematikája

    LINEÁRIS ALGEBRA

    A lineáris egyenletrendszerek megoldása

    Együttható- és kibővített mátrix. Elemi sorműveletek. Gauss-Jordan és Gauss-kiküszöbölés. Az általános megoldás, mint az oszlopvektorok lineáris kombinációja. Lineáris egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása. A megoldáshalmaz geometriai szemléltetése. Homogén lineáris egyenletrendszer. Kerekítési hibák.

    Alkalmazások: Lineáris egyenletrendszerek a globális helymeghatározásban (GPRS), Kirchoff-törvények, hálózatok analízise, polinom-interpoláció.

    Mátrixaritmetika

    Speciális mátrixok, sor- és oszlopvektorok. Mátrixműveletek és tulajdonságaik. A mátrixszorzás, mint lineáris kombináció. Transzponált, nyom. Mátrix rangja. Mátrix inverze és ennek meghatározása. Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással. Az egyenletek számának szerepe.

    Determinánsok

    Determináns. Kifejtés 2×2-es és 3×3-as esetben. A determináns geometriai jelentése. Speciális alakú determinánsok értéke. A determináns kifejtése. Determinánsok tulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-kiküszöböléssel. Formula mátrix inverzére. Cramer-szabály. Polinom-interpoláció és Vandermonde-determináns.

    Lineáris tér

    Lineáris tér axiómái és geometriai jelentesük. Mátrixterek, függvényterek. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér, generátorrendszer, bázis. Báziscsere, az áttérés mátrixa. Nem véges dimenziós lineáris tér létezése. Euklideszi terek. Metrikus és normált tér. Normált tér szerkezete és geometriája. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorász-tétel.

    Alkalmazások: Normák és approximációk, legjobb közelítés. Görbe illesztése mért adatokra. Legkisebb négyzetek módszere.

    Lineáris operátorok és mátrixok

    Lineáris operátor és transzformáció definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés) és mátrixuk. Limes, deriválás, integrálás, mint lineáris operátorok. Magtér, képtér. Dimenziótétel. Inverz. Mátrixtranszformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság. Jordan-alak és Gram-Schmidt ortogonalizáció.

    Alkalmazások: 3-dimenziós grafika. Komputer grafika. Lineáris differenciálegyenletek elméletének alapjai. Kvadratikus alakok, kúpszeletek osztályozása.

    VÉGTELEN SOROK

    Numerikus sorok

    Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Összefésülés. Konvergenciakritériumok. Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok átrendezése, Riemann tétel. Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.

    Alkalmazások: Elemi függvények értékeinek kiszámítása, becslése.

    Függvénysorozatok, -sorok

    Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.

    Hatványsorok

    Konvergenciaintervallum. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Formális Taylor-sor. Hatványsor és Taylor-sor. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Függvény és Taylor-sora: formális Taylor-sor konvergenciája, függvény előállítása Taylor-sorával. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-sorfejtés technikája.

    Alkalmazások: Taylor-sor a közelítő számításokban. Az elemi függvények értékeinek kiszámítása és fontos matematikai állandók numerikus értékeinek meghatározása, a zsebszámológépek működése. Integrálás, határértékszámítás, differenciálegyenletek közelítő megoldása sorfejtéssel.

    Fourier-sorok

    Trigonometrikus és Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Fourier-sor n-edik szelete, mint a négyzetesen legjobban közelítő trigonometrikus polinom. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.

    Alkalmazások: Periódikus mozgások vizsgálata. Tranziensek és felharmónikusok. Hangtani alkalmazások: hang felbontása, szintetizálása.

    TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

    Alapfogalmak

    Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia. Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Vektorfüggvények és megadásuk. Többváltozós függvény fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények és vektorfüggvények határértéke és folytonossága.

    Alkalmazások: Skalár-vektor függvény (pl. hőmérséklet), vektor-skalár függvény (pl. mozgás pályája idő függvényeként), vektor-vektor függvény (pl. erőtér, folyadék, gáz áramlási sebessége a tér pontjaiban, geometriai transzformációk).

    Differenciálszámítás

    Vektorfüggvények differenciálhatósága. Speciális esetek: gradiens, deriváltvektor. A Jacobi mátrix, Jacobi determináns. Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai szemléltetés. Szintfelületek. Másodrendű felületek szemléltetése szintvonalaikkal. Folytonos deriválhatóság. Láncszabály, középértéktétel, Young tétel. Differenciál, függvény lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése. Lokális és tartományi szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. Nyeregpont. Inverz függvény és implicit függvény tétel.

    Alkalmazások: A természet- és humán tudományok által vizsgált mennyiségek vizsgálata a deriváltak segítségével. Ekvipotenciális felületek. Optimumszámítási modellek.

    Integrálszámítás

    Jordan mérhetőség és terület, tulajdonságaik. Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál ki­szá­mítása: kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása. Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polárkoordinátákra való áttérés. Jacobi-determináns.

    Alkalmazások: Alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása nem egyenletes anyag­sűrűség esetén. Nyomaték, tömegközéppont, súlypont.

    10. Követelmények

    Szorgalmi időszakban: 2 darab 90 perces 60 pontos zárthelyi dolgozat.

    Az 1. zárhelyi ideje a 6. hét. Témája: Lineáris tér alapfogalmai. Lineáris fûggés, fûggetlenség, bázis, dimenzió. Mátrixalgebra, determináns. Lináris operátorok.

    A 2. zárthelyi ideje a 12. hét. Témája: Többváltozós függvények, alapfogalmak. folytonosság, deriválhatóság, gradiens. Többes integrál. Végtelen sorok, alapfogalmak, feltételes és abszolút konvergencia; konvergenciakritériumok.

    Vizsgaidőszakban:

    Csak aláírást szerzett hallgató jelentkezhet vizsgára. A vizsga irásbeli és esetleg szóbeli részbõl áll. Az írásbeli vizsga mindenki számára kötelező. Az írásbeli vizsga 90 perces, 60 pontos zárthelyi dolgozat. Az szóbelizhet, aki a vizsga irásbeli részén legalább 40% (24 pont) eredményt ért el, ennél rosszabb írásbeli eredmény esetén a vizsgajegy elégtelen. A hallgató külön kérésére szóbeli nélkül elégséges vizsgajegy kerül megállapításra annak a hallgatónak esetén, aki a vizsga írásbeli részén legalább 55%-os (33 pont) eredményt ért el és közepes vizsgajegy kerül megállapításra annak a hallgatónak esetén, aki a vizsga írásbeli részén legalább 70% -os (42 pont ) eredményt ért el. Az írásbeli alapján megajánlottnál jobb jegyért és a jó és jeles osztályzatért szóbelizni kell.

    A zárthrlyik, pótzárthelyik, írásbeli vizsgák az elégségesért tartott szóbeli vizsga tartalma ugyanaz a villamoskari előadáskurzusok esetében .

     
    11. Pótlási lehetőségek A félévközi zárthelyik a szorgalmi időszak utolsó hetében pótolhatók, a sikertelen vizsga iv jelleggel pótolható.

    12. Konzultációs lehetőségek Számonkérések előtt szervezett konzultációk, továbbá egyéni konzultációk fogadóórákon.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom Thomas-féle kalkulus (TypoTeX, 2006)
    Anton Busby: Contemporary Linear Algebra (Wiley, 2003)
    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra84
    Félévközi készülés órákra36
    Felkészülés zárthelyire20
    Házi feladat elkészítése 
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása 
    Vizsgafelkészülés40
    Összesen180
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Horváth Erzsébet
    Dr. Wettl Ferenc