Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Matematika A1a - Analízis

    A tantárgy angol neve: Mathematics A1a - Calculus

    Adatlap utolsó módosítása: 2017. június 26.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar

    Villamosmérnöki Szak, BSc képzés       

    Kötelező tantárgy       

    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90AX00   4/2/0/v 6  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Horváth Miklós Tibor, Analízis Tanszék
    A tantárgy tanszéki weboldala http://www.math.bme.hu/~horvath/oktatas.html
    4. A tantárgy előadója Dr. Horváth Miklós
    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Középiskolai matematikai ismeretek
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    NEM (TárgyEredmény("BMETE92AM05", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF00", "jegy", _) >= 2
    VAGY TárgyEredmény("BMETE90AX01", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE90AX04", "jegy", _) >= 2)
    VAGY Kepzes("4N-M_")

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rendek grafikus formában itt láthatók.

    7. A tantárgy célkitűzése Kötelező alaptárgy a mérnök- és gazdasági képzésekben.
    8. A tantárgy részletes tematikája

    1. hét: Matematikai logika és halmazelméleti alapok.

    Logikai állítások és műveletek, műveletek tulajdonságai, de Morgan azonosság. Bizonyítási módszerek (lánckövetkeztetés, kontrapozíció, indirekt, teljes indukció).  Elemi halmazelméleti fogalmak és műveletek. Relációk, ekvivalenciarelációk és függvények. Halmazok számossága.

    2. hét: Valós és komplex számok.

    Valós számok értelmezése. Racionális számok és irracionális számok tulajdonságai. R topológiája. Nyílt halmazok, zárt halmazok. Belső pont, határpont, torlódási pont. A komplex számok és azok tulajdonságai. Algebrai, trigonometrikus és Euler-alak. Komplex számok hatványozása, komplex gyökvonás.

    3. hét: Vektoralgebra.

    Műveletek sík- és térvektorokkal. Vektorok skaláris, vekrtoriális és vegyes szorzata. Az egyenes és sík egyenletei.

    4. hét: Analítikus térgeometria.

    Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete. Egyenesek és síkok távolsága és az általuk bezárt szög.

    5. hét: Valós számsorozatok I.

    Valós numerikus sorozatok és határértékük. Konvergens és divergens sorozatok tulajdonságai. Végtelenhez tartó sorozatok. A határérték egyértelműsége.
    A határérték tulajdonságai. Határérték és egyenlőtlenségek. Határérték és műveletek.

    6. hét: Valós számsorozatok II.

    Monoton és korlátos sorozatok tulajdonságai. Részsorozatok. Torlódási pontok jellemzése sorozatokkal. Bolzano-Weierstrass-tétel. liminf, limsup. Cauchy-kritérium. Nevezetes határértékek.

    7. hét: Valós függvények jellemzése.

    Valós változós, valós értékű függvények globális tulajdonságai (paritás, periodikusság, monotonitás, konvexitás). Jensen-egyenlőtlenség. Függvény határértéke és a határérték elemi tulajdonságai. Átviteli elv. Bal- és jobboldali határérték. Szakadási helyek osztályozása.

    8. hét: Folytonos függvények jellemzése, elemi függvények.

    Függvények folytonossága. Folytonos függvények tulajdonságai. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények. Bolzano-tétel. Weierstrass-tétel. Egyenletes folytonosság. Heine-tétel. Elemi függvények. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények. Exponenciális és hatványfüggvények. Logaritmusfüggvények. Trigonometrikus függvények és inverzeik. Hiperbolikus függvények és inverzeik.

    9. hét: A differenciálszámítás alapjai.

    A differenciálhatóság fogalma. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabbrendű deriváltak. Lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata.

    10. hét: A differenciálszámítás alkalmazásai.

    Középértéktételek (Rolle, Lagrange, Cauchy, l'Hospital-szabály). Differenciálható függvények vizsgálata. Taylor-polinom. Alkalmazások.

    11. hét: A határozatlan integrál.

    A határozatlan integrál fogalma és elemi határozatlan integrálok. A határozatlan integrál tulajdonságai és integrálási módszerek. Parciális és helyettesítéses integrál. Parciális törtekre bontás. Racionális törtfüggvények integrálása.

    12. hét: A Riemann-integrál.

    A Riemann-integrál definíciója és tulajdonságai. A Riemann-integrálhatóság kritériumai, oszcillációs összeg, Lebesgue-tétel. Newton-Leibniz-tétel. Integrálfüggvény.

    13. hét: Impromprius integrál és az integrászámítás alkalmazásai.

    Az impromprius integrál. A határozott integrál matematikai és fizikai alkalmazásai. (terület, forgástest térfogata, felszíne,,integrálkritérium sorokra, súlypont, tehetetlenségi nyomték, stb.) Példák.

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) 4 óra előadás, 2 óra gyakorlat.
    10. Követelmények

    Az előadások és a gyakorlatok látogatása kötelező. Az előadásokon a jelenlétet azok kezdetén és végén is a félév folyamán minden alkalommal ellenőrizzük, aláírást nem kaphat az a hallgató, aki ezek alapján az alkalmak több, mint 30%-áról hiányzott (a viszonyítási alap a ténylegesen megtartott előadások száma). A gyakorlatokon a jelenlétet minden alkalommal ellenőrizzük, 30%-ot meghaladó hiányzás esetén a tantárgyból sem aláírás sem kreditpont nem szerezhető.
     
    Az aláírás megszerzésének feltétele:
    A jelenléti követelmények teljesítésén túl, a 0. zárthelyi dolgozat esetében a maximálisan elérhető pontok minimum 40%-át, az 1. és 2. zárthelyik esetében a maximálisan elérhető pontok minimum 30%-át kell megszerezni. Ezen felül, az 1. és 2. zárthelyiben szereplő *-gal jelölt példákból meg kell szerezni egy előre közölt minimum pontszámot.

    Vizsgaidőszakban: Írásbeli és/vagy szóbeli vizsga.

    Csak aláírást szerzett hallgató jelentkezhet vizsgára. A vizsga írásbeli és esetleg szóbeli részből áll. Az írásbeli vizsga mindenki számára kötelező. A vizsga írásbeli részén legalább 40%-os eredményt kell elérni, ennél rosszabb írásbeli eredmény esetén a vizsgajegy elégtelen. Azon hallgatók esetében, akiknél az évközi zárthelyik átlagpontszáma meghaladja a vizsgapontszámot (ami legalább 40%-os), a zárthelyik átlagpontszámát 50%-os súllyal figyelembe vesszük. (Vagyis ekkor a zárthelyik átlagának és a vizsgadolgozatnak a számtani közepét tekintjük az írásbeli vizsga pontszámának.)  Ha p jelöli azt, hogy  a vizsgán az elöbbiek alapján elért pontszám a maximum pontszámnak hány %-a, akkor a következő helyzet áll elő:

    • p<40% esetén a vizsgajegy elégtelen.
    • 40%
    • 55%
    • p>70% esetén a hallgató kérésére szóbeli nélkül közepes vizsgajegy adható.
    • Jó és jeles vizsgajegyért kötelező szóbeli vizsgát tenni.


    A szóbeli vizsgák az év végén kihirdetett tételsor alapján történnek.
    A TVSZ-ben rögzített módon javító, illetve ismétlő javító vizsga tehető. Javítás alkalmával a vizsgajegy le is rontható.

    11. Pótlási lehetőségek

    A 0. zárthelyi pótlása: a „Bevezető matematika” szabadon választható tantárgy eredményes elvégzése vagy a pótlási héten megírt pótló zárthelyi dolgozat legalább 50%-os megírása. Akinek egyik sem sikerül, nem szerezhet aláírást.

    Az 1. és 2. zárthelyi pótlása: az egyik zárthelyi pótolható a szorgalmi időszak végén. Ha ez sem sikerül, különeljárási díj befizetése után még egy pótzárthelyi írható a pótlási héten. Pótzárthelyiket csak az írhat, akinek az egyik zárthelyi dolgozata eléri a 30%-ot. A pótzárthelyik anyaga, témája, nehézsége, értékelése megegyezik az eredeti zárthelyijével. A TVSZ értelmében a pótzárthelyi javító jelleggel is megírható. Ilyenkor az új zárthelyi eredménye lép a régi helyébe, tehát rontani is lehet.

    A sikertelen vizsga iv jelleggel pótolható.

    12. Konzultációs lehetőségek Számonkérések előtt szervezett konzultációk, továbbá egyéni konzultációk fogadóórákon.

    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom Thomas-féle kalkulus (TypoTex, 2006)
    Babcsányi I.-Wettl F. Matematikai feladatgyűjtemény I. (Műegyetemi Kiadó, 1998)
    Leindler László: Analízis (Polygon, 2001)
    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra84
    Felkészülés előadásokra
     10
    Felkészülés gyakorlatokra14
    Felkészülés zárthelyire32
    Házi feladat elkészítése 
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása 
    Vizsgafelkészülés40
    Összesen180
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Horváth Miklós
    IMSc tematika és módszer Az IMSc programban résztvevő hallgatók által látogatott gyakorlatokon az
    anyag magasabb szintű, mélyebb elsajátítása érdekében más feladatokat
    dolgozunk fel, mint a többi kurzuson. Kevesebb bevezető, rutin, gyakorló
    feladat szerepel és több nehezebb, gondolkodtatóbb feladat lesz.
    IMSc pontozás A tárgyból összesen 30 IMSc pont szerezhető, mégpedig a következő módon.  Minden zárthelyin és vizsgazárthelyin szerepel +30% megjelölt, a szokásosnál nehezebb példa. Ennek megoldására nem áll rendelkezésre külön idő, ennek eredménye nem számít be a zárthelyi eredményébe, és csak jeles szintű zárthelyik esetében kerül javításra. A két félévközi zárthelyin és a vizsgazárthelyin legfeljebb 10-10 IMSc pont szerezhető a megjelölt feladatokból  oly módon, hogy 3%-onként 1 pont jár. Az IMSc pontok megszerzése a
    programban nem résztvevő hallgatók számára is biztosított.